Encontre a solução geral da EDO dada.
y^prime prime-y=e^-x+e^x2,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = e^-x+e^x2
O conteúdo é resolução de EDO linear: primeiro encontramos a solução complementar (da homogênea) e depois uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - y = 0
montamos a equação característica r^2 - 1 = 0, cujas raízes são
r = 1, r = -1
Logo a solução complementar é
yc = C1 e^x + C2 e^-x

Passo 3

Para a particular, notamos que o segundo membro tfrace^x2+tfrace^-x2 tem termos que coincidem com a solução homogênea. Usamos, portanto, o método dos coeficientes a determinar com a forma de tentativa
yp = A,x,e^x + B,x,e^-x

Passo 4

Calculamos yp'' - yp. Primeiro derivadas:
yp' = A,e^x + A,x,e^x + B,e^-x - B,x,e^-x,
yp'' = 2A,e^x + A,x,e^x - 2B,e^-x + B,x,e^-x
Então
yp'' - yp = (2A,e^x - 2B,e^-x) = e^x2 + e^-x2
Igualando coeficientes de e^x e de e^-x:
2A = tfrac12 implies A = tfrac14, -2B = tfrac12 implies B = -tfrac14
Assim
yp = tfrac14,x,e^x - tfrac14,x,e^-x

Resposta

A solução geral é
y = C1 e^x + C2 e^-x + x4,e^x - x4,e^-x

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