Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
1-i raiz3

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = 1 - iraiz3
e pede para determinar a parte real x, a parte imaginária y, o módulo r, um valor para o ângulo theta (argumento), e em seguida traçar o ponto z no plano complexo e também o seu conjugado z.

Passo 2

Por definição, se
z = x + i,y
então
x = Re(z), y = Im(z)
Comparando com z = 1 - iraiz3 vemos que
x = 1, y = -raiz3

Passo 3

O módulo de z é
r = |z| = raizx^2 + y^2 = raiz1^2 + l(-raiz3r)^2 = raiz1 + 3 = 2

Passo 4

O argumento principal theta satisfaz
theta = arctan!l(tfracyxr),
com ajuste de quadrante. Aqui x>0 e y<0, ou seja, quarto quadrante. Logo
theta = arctan!l(-raiz3r) = -pi3 (ou, equiva<=nte, tfrac5pi3)

Passo 5

O conjugado de z é
z = x + i(-y) = 1 + iraiz3
Para z temos
Re(z) = 1, Im(z) = raiz3, |z| = 2, arg(z) = pi3

Passo 6

Gráfico esquemático no plano de Argand:
  • O eixo horizontal é a parte real, o vertical é a parte imaginária.
  • O ponto fica em , ou seja, uma unidade à direita e para baixo (quarto quadrante).
  • O ponto fica em , uma unidade à direita e para cima (primeiro quadrante).

Resposta

Para z = 1 - iraiz3:
Re(z)=1, Im(z)=-raiz3, |z|=2, arg(z)=-tfracpi3.
Para z = 1 + iraiz3:
Re(z)=1, Im(z)=raiz3, |z|=2, arg(z)=tfracpi3.
Gráfico: z em (1,-raiz3) e z em (1,raiz3) conforme o esquema acima.

Exercícios relacionados