Exercício 4. Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e indique o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
y^prime+x(x+2) y=e^x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + x(x+2),y = e^x
O conteúdo é EDO linear; para resolver vamos precisar do fator integrante, que é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr)com p(x)=x(x+2)

Passo 2

Calculemos o fator integrante. Como
p(x)=x^2+2x,
temos
integral p(x),dx = integral (x^2+2x),dx = x^33+x^2,
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mu(x)=expl(tfracx^33+x^2r)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
mu(x),y' + mu(x),x(x+2),y = mu(x),e^x
O lado esquerdo é a derivada de mu(x)y, pois
ddxl[mu(x),yr] =mu(x),y' + mu'(x),y =mu(x),y' + l(x^2+2xr)mu(x),y

Passo 4

Assim obtemos
ddxl[mu(x),yr] =mu(x),e^x
Integrando ambos os lados,
mu(x),y = integral expl(tfracx^33+x^2r),e^x,dx + C = integral expl(tfracx^33+x^2+xr),dx + C

Passo 5

Isolando y,
y(x) =expl(-tfracx^33-x^2r)l[C + integral^x expl(tfract^33+t^2+tr),dtr]
Aqui a integral não se expressa em primitiva elementar, mas essa é a forma geral por quadratura.

Passo 6

Como os coeficientes p(x)=x^2+2x e q(x)=e^x são contínuos em todo R e mu(x)>0 nunca anula, a solução geral está definida em todo o eixo real.

Resposta

A solução geral é
y(x)=expl(-tfracx^33-x^2r)l[C + integralx0^xexpl(tfract^33+t^2+tr),dtr],
e o maior intervalo de definição é I=R.

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