Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
7(cos 110^circ-i sin 110^circ)

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo em forma trigonométrica
z = 7l(cos 110^circ - isin 110^circr),
e pede: a parte real x, a parte imaginária y, o módulo r, um valor do ângulo theta, e o conjugado bar z. Além disso, devemos indicar como ficariam no gráfico do plano complexo. Vamos usar as fórmulas de conversão entre forma trigonométrica e forma cartesiana e a definição de conjugado (trocar o sinal da parte imaginária).

Passo 2

Para passar para a forma cartesiana usamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
mas note que o sinal “ -sin110^circ” torna
y = -,7sin110^circ
Calculando numericamente (com três casas decimais):
cos110^circapprox -0,3420, sin110^circapprox 0,9397,
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x = 7cdot(-0,3420) approx -2,394, y = -,7cdot0,9397 approx -6,577

Passo 3

O módulo já é dado por
r = 7
Um valor conveniente para o argumento é
theta = -110^circ (ou, equiva<=ntemente, 250^circ)

Passo 4

O conjugado de z = x + i y é
bar z = x - i y
Como x=-2,394 e y=-6,577, temos
bar z = -2,394 + i,6,577

Passo 5

No plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical) o ponto correspondente a z é
(-2,394,,-6,577),
ou seja, 2,394 unidades à esquerda e 6,577 para baixo.
O conjugado bar z fica em
(-2,394,;6,577),
mesma abscissa e oposta ordenada (6,577 para cima).

Resposta

x = -2,394
y = -6,577
r = 7
theta = -110^circ (ou 250^circ)
bar z = -2,394 + i,6,577
Gráfico:
  • z em (-2,394,-6,577)
  • bar z em (-2,394,6,577)

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