Encontre a solução geral da EDO não-homogênea
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral compondo a solução homogênea (complementar) e uma solução particular. A EDO é:
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos a equação característica associada:
Essa equação tem raiz dupla
. Então a solução complementar é da forma
pois, para raiz dupla, inclui-se
.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular, usamos o truque de buscar
Derivando:
Substituindo na EDO LHS =
gera
Logo a EDO reduz a
Passo 4
Integrando
duas vezes temos
Os termos
geram soluções pertencentes à parte homogênea, então podemos escolher para a particular
. Assim
Resposta
A solução geral é