Encontre a solução geral da EDO não-homogênea
y^prime prime-2 y^prime+y=2 x e^x

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral compondo a solução homogênea (complementar) e uma solução particular. A EDO é:
y'' - 2y' + y = 2x e^x

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0
Essa equação tem raiz dupla r=1. Então a solução complementar é da forma
yh = (C1 + C2 x) e^x
pois, para raiz dupla, inclui-se x e^rx.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular, usamos o truque de buscar
yp = u(x)e^x
Derivando:
yp' = (u' + u)e^x,
yp'' = (u'' + 2u' + u)e^x
Substituindo na EDO LHS = yp'' -2yp' + yp gera
(u'' + 2u' + u) e^x - 2(u' + u)e^x + u e^x = u'' e^x
Logo a EDO reduz a
u'' e^x = 2x e^x implies u'' = 2x

Passo 4

Integrando u'' = 2x duas vezes temos
u'(x) = x^2 + A, u(x) = x^33 + A x + B
Os termos A x + B geram soluções pertencentes à parte homogênea, então podemos escolher para a particular up(x)=x^3/3. Assim
yp = x^33e^x

Resposta

A solução geral é
y(x)=l(C1 + C2 x + tfracx^33r)e^x

Exercícios relacionados