Utilize o Método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da EDO
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-2 e^-2 t
para t>0, e depois escreva sua solução geral.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não-homogênea usando o método de variação de parâmetros. A equação é
y'' + 4y' + 4y = t^-2e^-2t, t>0
Vamos precisar da solução geral do homogêneo, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica
r^2 + 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r=-2. Assim, as soluções fundamentais são
y1(t) = e^-2t, y2(t) = t,e^-2t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^-2tl(e^-2t-2t e^-2tr) - t e^-2tl(-2e^-2tr) = e^-4t

Passo 4

Na variação de parâmetros, para f(t)=t^-2e^-2t temos as fórmulas:
u1'(t) = -y2(t)f(t)W(t), nu2'(t) = y1(t)f(t)W(t)
Substituindo,
nu1'(t) = -t e^-2tcdot t^-2e^-2te^-4t = -1t,
nu2'(t) = e^-2tcdot t^-2e^-2te^-4t = t^-2

Passo 5

Integramos para obter nu1 e nu2:
nu1(t) = -integral 1t,dt = -ln t,
nu2(t) = integral t^-2,dt = -t^-1
A solução particular é
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = -e^-2tln t - e^-2t

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C1e^-2t + C2 te^-2t - e^-2tln t - e^-2t
Como -e^-2t pode ser absorvido em C1e^-2t, a forma mais simples é
y(t) = C1e^-2t + C2 te^-2t - e^-2tln t

Resposta

y(t) = C1e^-2t + C2 te^-2t - e^-2tln t

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