Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0para \alpha>1, para \alpha=1 e \alpha<1.

Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar

  1. Encontre a solução geral das equações:
    y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+6 y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de duas EDOs de 2ª ordem com coeficientes constantes. A primeira é homogênea e depende do parâmetro \alpha:
y'' + 2y' + \alpha y = 0
devendo tratar os casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1. A segunda é não homogênea:
y'' - 4y' + 6y = 3x
para a qual aplicaremos o método dos coeficientes indeterminados e o método da variação de parâmetros. Os conceitos que usaremos incluem a equação característica, classificação das raízes (reais distintas, repetidas ou complexas) e técnicas para obter a solução particular.

Passo 2

Para a EDO homogênea
y'' + 2y' + \alpha y = 0
formamos a equação característica
r^2 + 2r + \alpha = 0
e calculamos o discriminante
\Delta = 4 - 4\alpha = 4(1 - \alpha).
Isso gera três situações:
– Para \alpha > 1: \Delta < 0 e
r = -1 \pm i\sqrt{\alpha - 1},
logo
y = e^{-x}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{\alpha - 1}\,x) + C_{2}\sin(\sqrt{\alpha - 1}\,x)\bigr).
– Para \alpha = 1: \Delta = 0 com raiz dupla r=-1, daí
y = (C_{1} + C_{2}x)\,e^{-x}.
– Para \alpha < 1: \Delta > 0 e
r_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 - \alpha},
portanto
y = C_{1}e^{(-1 + \sqrt{1 - \alpha})x} + C_{2}e^{(-1 - \sqrt{1 - \alpha})x}.

Passo 3

Agora tratamos a EDO não homogênea
y'' - 4y' + 6y = 3x.
Começamos pela parte homogênea associada
y'' - 4y' + 6y = 0,
cuja equação característica
r^2 - 4r + 6 = 0
tem discriminante \Delta = (-4)^2 - 4\cdot6 = -8, dando
r = 2 \pm i\sqrt{2}.
Assim a solução homogênea é
y_{h} = e^{2x}\bigl(A\cos(\sqrt{2}\,x) + B\sin(\sqrt{2}\,x)\bigr).

Passo 4

Para encontrar uma solução particular y_{p} usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo de força 3x é polinomial de grau 1, supomos
y_{p} = a\,x + b, \quad y_{p}' = a, \quad y_{p}'' = 0.
Substituindo em y'' - 4y' + 6y = 3x obtemos
0 - 4a + 6(ax + b) = 3x \quad\Longrightarrow\quad 6a\,x +(-4a +6b)=3x.
Igualando coeficientes:
6a = 3 \;\Rightarrow\; a = \tfrac12, \qquad -4a + 6b = 0 \;\Rightarrow\; b = \tfrac13.
Logo
y_{p} = \tfrac12 x + \tfrac13.

Passo 5

Podemos também esboçar o método da variação de parâmetros para confirmar y_{p}. Tomamos as soluções fundamentais
y_{1} = e^{2x}\cos(\sqrt{2}\,x), \quad y_{2} = e^{2x}\sin(\sqrt{2}\,x),
o Wronskiano
W = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2} = e^{4x}\sqrt{2},
e definimos
u_{1}' = -\frac{g(x)\,y_{2}}{W}, \quad u_{2}' = \frac{g(x)\,y_{1}}{W},
com g(x)=3x. Após integrar u_{1}' e u_{2}' e montar
y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2},
o resultado coincide com
y_{p} = \tfrac12 x + \tfrac13.

Passo 6

A solução geral da EDO não homogênea é
y = y_{h} + y_{p} = e^{2x}\bigl(A\cos(\sqrt{2}\,x) + B\sin(\sqrt{2}\,x)\bigr) + \tfrac12 x + \tfrac13.

Resposta

Para \displaystyle y'' + 2y' + \alpha y = 0:
\alpha>1:
y = e^{-x}\bigl(C_{1}\cos(\sqrt{\alpha - 1}\,x) + C_{2}\sin(\sqrt{\alpha - 1}\,x)\bigr).
\alpha=1:
y = (C_{1} + C_{2}x)\,e^{-x}.
\alpha<1:
y = C_{1}e^{(-1 + \sqrt{1 - \alpha})x} + C_{2}e^{(-1 - \sqrt{1 - \alpha})x}.
Para \displaystyle y'' - 4y' + 6y = 3x:
y = e^{2x}\bigl(A\cos(\sqrt{2}\,x) + B\sin(\sqrt{2}\,x)\bigr) + \tfrac12 x + \tfrac13.

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