Encontre a solução geral da EDO
para
, para
e
.
Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar
- Encontre a solução geral das equações:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de duas EDOs de 2ª ordem com coeficientes constantes. A primeira é homogênea e depende do parâmetro
:
devendo tratar os casos
,
e
. A segunda é não homogênea:
para a qual aplicaremos o método dos coeficientes indeterminados e o método da variação de parâmetros. Os conceitos que usaremos incluem a equação característica, classificação das raízes (reais distintas, repetidas ou complexas) e técnicas para obter a solução particular.
Passo 2
Para a EDO homogênea
formamos a equação característica
e calculamos o discriminante
Isso gera três situações:
– Para
:
e
logo
– Para
:
com raiz dupla
, daí
– Para
:
e
portanto
Passo 3
Agora tratamos a EDO não homogênea
Começamos pela parte homogênea associada
cuja equação característica
tem discriminante
, dando
Assim a solução homogênea é
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo de força
é polinomial de grau 1, supomos
Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
Podemos também esboçar o método da variação de parâmetros para confirmar
. Tomamos as soluções fundamentais
o Wronskiano
e definimos
com
. Após integrar
e
e montar
o resultado coincide com
Passo 6
A solução geral da EDO não homogênea é
Resposta
Para
:
– :
–
–
:
–
:
Para
: