Encontre uma função u(x) tal que y_{2}(x)= u(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções fundamentais.
13. As equações de Euler são as equações que podem ser escritas na forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que \displaystyle y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''+3x\,y'+y=0,\quad x>0,
e, em seguida, encontrar uma função u(x) tal que
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)
também seja solução. O conteúdo envolvido é “equação de Euler” e “método de redução de ordem” para achar a segunda solução. Além disso, precisamos mostrar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental, ou seja, são LI.
Passo 2
Verificamos que y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a equação. Calculamos as derivadas: