Mostre que y_{1}(x)=x^{-1}, x>0, é solução da EDO
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
Encontre uma função u(x) tal que y_{2}(x)= u(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções fundamentais.
13. As equações de Euler são as equações que podem ser escritas na forma

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \displaystyle y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''+3x\,y'+y=0,\quad x>0,
e, em seguida, encontrar uma função u(x) tal que
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)
também seja solução. O conteúdo envolvido é “equação de Euler” e “método de redução de ordem” para achar a segunda solução. Além disso, precisamos mostrar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental, ou seja, são LI.

Passo 2

Verificamos que y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y_{1}'(x) = -\,x^{-2}, \qquad y_{1}''(x) = 2\,x^{-3}.
Substituindo em
x^{2}y''+3x\,y'+y
vê-se:
x^{2}\bigl(2x^{-3}\bigr) +3x\bigl(-x^{-2}\bigr) + x^{-1} = 2x^{-1} -3x^{-1} + x^{-1} = 0.
Logo, \,y_{1}(x)=x^{-1} é de fato solução.

Passo 3

Para obter a segunda solução, fazemos y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x). Então
y_{2}' = u'\,y_{1} + u\,y_{1}', \qquad y_{2}'' = u''\,y_{1} +2u'\,y_{1}'+u\,y_{1}''.
Substituindo em x^{2}y_{2}''+3x\,y_{2}'+y_{2}=0 e usando que y_{1} resolve a equação, os termos em u cancelam, sobrando
x^{2}u''\,y_{1} + \bigl(2x^{2}y_{1}'+3x\,y_{1}\bigr)u' =0.
Como y_{1}(x)=x^{-1} implica y_{1}'/y_{1}=-1/x, o coeficiente de u' é
2x^{2}\,\frac{y_{1}'}{y_{1}}+3x = 2x^{2}\bigl(-\tfrac1x\bigr)+3x = x.
Divide-se por y_{1} e obtém-se a ODE de primeira ordem em v=u':
x^{2}v' + x\,v =0 \;\Longrightarrow\; \frac{v'}{v} + \frac1{x}=0 \;\Longrightarrow\; v = \frac{C}{x}.
Tomando a constante C=1 (qualquer múltiplo geral fica incorporado em u), temos
u'(x)=\frac1{x} \quad\Longrightarrow\quad u(x)=\ln(x).

Passo 4

Assim, a segunda solução é
y_{2}(x) = u(x)\,y_{1}(x) = \frac{\ln(x)}{x}.

Passo 5

Para verificar que y_{1} e y_{2} são LI, calculamos o Wronskiano:
W(x) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{-1} & x^{-1}\ln(x) \\[4pt] -\,x^{-2} & x^{-2}\bigl(1-\ln(x)\bigr) \end{vmatrix} = x^{-1}\cdot x^{-2}\bigl(1-\ln x\bigr) - \bigl(x^{-1}\ln x\bigr)\cdot(-x^{-2}) = x^{-3}\neq0
para todo x>0. Como W(x)\neq0, as soluções são fundamentais.]

Resposta

A segunda solução obtida é
y_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{x},
portanto as soluções fundamentais da EDO são
y_{1}(x)=x^{-1}, \qquad y_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{x}.

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