As Equações de Euler são as equações que podem ser escritas na forma
Mostre que existen valores constantes de
tais que
é uma solução de (1). Além disso, mostre que
é uma solução de (1) se, e somente se,
A equação (2) é chamada equação inicial de (1).
Passo 1
O enunciado nos apresenta a equação de Euler
e pede para mostrar que, ao buscar soluções da forma
os expoentes
devem satisfazer uma equação quadrática, chamada equação característica:
O conteúdo é: método de ansatz para equações de Euler–Cauchy.
Passo 2
Começamos assumindo
Calculamos a primeira derivada usando a regra de potência:
Em seguida, a segunda derivada:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação de Euler:
Agora fatoramos
em cada termo:
Passo 4
Como
para
, a única maneira de a soma ser zero para todo
é anular o coeficiente entre colchetes:
Desenvolvendo
, obtemos a equação característica
Portanto,
é solução da equação de Euler se, e somente se,
satisfaz
Resposta
A função
resolve
se, e somente se,
que é a equação característica associada.