As Equações de Euler são as equações que podem ser escritas na forma
x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0, b, c \in \mathbb{R} .
Mostre que existen valores constantes de r tais que y(x)=x^{r} é uma solução de (1). Além disso, mostre que y(x)=x^{r} é uma solução de (1) se, e somente se,
r^{2}+(b-1) r+c=0
A equação (2) é chamada equação inicial de (1).

Passo 1

O enunciado nos apresenta a equação de Euler
x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0, \quad b,c\in\mathbb{R},
e pede para mostrar que, ao buscar soluções da forma
y(x)=x^{r},
os expoentes r devem satisfazer uma equação quadrática, chamada equação característica:
r^{2} + (b-1)\,r + c = 0.
O conteúdo é: método de ansatz para equações de Euler–Cauchy.

Passo 2

Começamos assumindo
y(x)=x^{r}.
Calculamos a primeira derivada usando a regra de potência:
y'(x)=\frac{d}{dx}x^{r}=r\,x^{r-1}.
Em seguida, a segunda derivada:
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(r\,x^{r-1}\bigr) =r\,(r-1)\,x^{r-2}.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação de Euler:
x^{2}\bigl[r(r-1)\,x^{r-2}\bigr] + b\,x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + c\bigl[x^{r}\bigr] =0.
Agora fatoramos x^{r} em cada termo:
r(r-1)\,x^{r-2+2} \;+\; b\,r\,x^{r-1+1} \;+\; c\,x^{r} =0 \;\Longrightarrow\; \bigl[r(r-1) + b\,r + c\bigr]\,x^{r} =0.

Passo 4

Como x^{r}\neq0 para x>0, a única maneira de a soma ser zero para todo x é anular o coeficiente entre colchetes:
r(r-1) + b\,r + c = 0.
Desenvolvendo r(r-1)=r^{2}-r, obtemos a equação característica
r^{2} - r + b\,r + c = 0 \;\Longleftrightarrow\; r^{2} + (b-1)\,r + c = 0.
Portanto, y(x)=x^{r} é solução da equação de Euler se, e somente se, r satisfaz
r^{2} + (b-1)\,r + c = 0.

Resposta

A função y(x)=x^{r} resolve
x^{2}y'' + b\,x\,y' + c\,y = 0
se, e somente se,
r^{2} + (b-1)\,r + c = 0,
que é a equação característica associada.

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