Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0para \alpha>1, para \alpha=1 e \alpha<1.

Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar

  1. Encontre a solução geral das equações:
    y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+6 y=3 x.

Passo 1

O enunciado traz duas EDOs de coeficientes constantes. A primeira é homogênea:
y''+2y'+\alpha y=0,
com parâmetro \alpha, e pede a solução geral para os casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1. A segunda é não-homogênea:
y''-4y'+6y=3x,
e vamos resolvê-la pelo método dos coeficientes a determinar, pois o termo forçante 3x é polinomial.

Passo 2

Para a EDO homogênea montamos o polinômio característico
r^2+2r+\alpha=0.
As raízes são
r = \frac{-2\pm\sqrt{4-4\alpha}}{2} = -1\pm\sqrt{1-\alpha}.
A forma da solução geral depende do sinal de 1-\alpha.

Passo 3

Caso \alpha>1, temos 1-\alpha<0. Defina \beta=\sqrt{\alpha-1}>0. As raízes são reais e distintas:
r=-1\pm i\,\beta\quad\text{com }i=\sqrt{-1}.
Na verdade são complexas conjugadas, logo a solução real geral é
y(x)=e^{-x}\Big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\Big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Caso \alpha=1, temos 1-\alpha=0. A raiz do característico é dupla:
r=-1.
A solução geral para raiz dupla é
y(x)=e^{-x}(C_1 + C_2\,x).

Passo 5

Caso \alpha<1, temos 1-\alpha>0. Defina \gamma=\sqrt{1-\alpha}>0. As raízes são reais distintas:
r_1=-1+\gamma,\quad r_2=-1-\gamma.
Logo a solução geral é
y(x)=C_1 e^{(-1+\gamma)x}+C_2 e^{(-1-\gamma)x}.

Passo 6

Agora resolvemos
y''-4y'+6y=3x
pelo método dos coeficientes a determinar. Primeiro, a solução complementar y_c vem da homogênea
r^2 -4r +6=0\quad\Rightarrow\quad r=2\pm i\sqrt{2},
logo
y_c(x)=e^{2x}\big(A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x)\big).

Passo 7

Para a particular y_p tentamos um polinômio de grau 1, pois o termo forçante é 3x. Seja
y_p(x)=px+q.
Então
y_p'(x)=p,\quad y_p''(x)=0.
Substituindo na EDO:
0 -4p +6(px+q) =3x.
Isto é,
6p\,x + (6q-4p) =3x + 0.

Passo 8

Compare coeficientes de x e termo constante:
De x: 6p=3 \Rightarrow p=\tfrac12.
Constante: 6q-4p=0 \Rightarrow 6q-4\cdot\tfrac12=0 \Rightarrow 6q-2=0 \Rightarrow q=\tfrac13.
Logo
y_p(x)=\tfrac12 x + \tfrac13.

Passo 9

A solução geral da não-homogênea é
y(x)=y_c(x)+y_p(x) =e^{2x}\big(A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x)\big) +\tfrac12 x + \tfrac13.

Resposta

Para \displaystyle y''+2y'+\alpha y=0:
\alpha>1: \displaystyle y=e^{-x}\big(C_1\cos(\sqrt{\alpha-1}\,x)+C_2\sin(\sqrt{\alpha-1}\,x)\big).
\alpha=1: \displaystyle y=e^{-x}(C_1 + C_2 x).
\alpha<1: \displaystyle y=C_1 e^{(-1+\sqrt{1-\alpha})x}+C_2 e^{(-1-\sqrt{1-\alpha})x}. Para \displaystyle y''-4y'+6y=3x: \displaystyle y=e^{2x}\big(A\cos(\sqrt{2}x)+B\sin(\sqrt{2}x)\big)+\tfrac12 x + \tfrac13.

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