Encontre a solução geral da EDO
para
, para
e
.
Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar
- Encontre a solução geral das equações:
.
Passo 1
O enunciado traz duas EDOs de coeficientes constantes. A primeira é homogênea:
com parâmetro
, e pede a solução geral para os casos
,
e
. A segunda é não-homogênea:
e vamos resolvê-la pelo método dos coeficientes a determinar, pois o termo forçante
é polinomial.
Passo 2
Para a EDO homogênea montamos o polinômio característico
As raízes são
A forma da solução geral depende do sinal de
.
Passo 3
Caso
, temos
. Defina
. As raízes são reais e distintas:
Na verdade são complexas conjugadas, logo a solução real geral é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Caso
, temos
. A raiz do característico é dupla:
A solução geral para raiz dupla é
Passo 5
Caso
, temos
. Defina
. As raízes são reais distintas:
Logo a solução geral é
Passo 6
Agora resolvemos
pelo método dos coeficientes a determinar. Primeiro, a solução complementar
vem da homogênea
logo
Passo 7
Para a particular
tentamos um polinômio de grau 1, pois o termo forçante é
. Seja
Então
Substituindo na EDO:
Isto é,
Passo 8
Compare coeficientes de
e termo constante:
De :
.
Constante: .
Logo
De
Constante:
Logo
Passo 9
A solução geral da não-homogênea é
Resposta
Para
– :
.
– :
.
– :
Para
–
–
–