Encontre a SOLUCÃO GERAL DA EDO y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y''' - 5y'' + 4y' = e^{2x}.
Este é um problema de equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Vamos obter a solução complementar (homogênea) resolvendo a equação característica e depois achar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea supomos y=e^{r x}. Substituindo em y''' -5y'' +4y'=0 obtemos a equação característica
r^3 -5r^2 +4r = 0.
Fatorando,
r(r^2 -5r +4)=r(r-1)(r-4)=0,
logo as raízes são r=0, r=1 e r=4. Assim a solução complementar é
y_{\mathrm{c}}(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{1\cdot x}+C_{3}e^{4\cdot x} =C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{4x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular de
y''' -5y'' +4y' = e^{2x}
note que e^{2x} não coincide com nenhuma raiz da característica, então tentamos
y_{p}(x)=A\,e^{2x}.
Calculamos as derivadas:
y_{p}'=2A\,e^{2x},\quad y_{p}''=4A\,e^{2x},\quad y_{p}'''=8A\,e^{2x}.
Substituindo na equação original:
8A\,e^{2x}-5\bigl(4A\,e^{2x}\bigr)+4\bigl(2A\,e^{2x}\bigr) =(8A-20A+8A)e^{2x}=-4A\,e^{2x}.
Igualando a e^{2x} do lado direito, temos -4A=1, logo
A=-\tfrac14
e
y_{p}(x)=-\tfrac14\,e^{2x}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{4x}-\tfrac14\,e^{2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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