2* Questāo: Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{99^{n}\left(n^{5}+2\right)}{n^{2} 10^{2 n}} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{99^{n}(n^{5}+2)}{n^{2}\,10^{2n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui são séries de termos positivos e vamos usar o Teste da Razão para séries.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{99^{n}(n^{5}+2)}{n^{2}\,10^{2n}}
Como a_{n}>0 para todo n, podemos aplicar o Teste da Razão, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo, converge).

Passo 3

Vamos calcular o quociente \tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{99^{\,n+1}\bigl((n+1)^{5}+2\bigr)}{(n+1)^{2}\,10^{2(n+1)}} \cdot \frac{n^{2}\,10^{2n}}{99^{\,n}\bigl(n^{5}+2\bigr)} = \frac{99}{100}\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\;\frac{(n+1)^{5}+2}{n^{5}+2}.

Passo 4

Analisamos o limite quando n\to\infty:
  • \tfrac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to1.
  • \tfrac{(n+1)^{5}+2}{n^{5}+2}\to1.
    Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{99}{100} < 1.

Passo 5

Como o limite L=\tfrac{99}{100} é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados