Encontre uma solução implícita para a EDO
\left(e^{2 y}-y\right) \cos x \frac{d y}{d x}=e^{y} \operatorname{sen} 2 x
Dica: \operatorname{sen} 2 x=2 \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\bigl(e^{2y}-y\bigr)\cos x\,\frac{dy}{dx}=e^{y}\operatorname{sen} 2x
e pede uma solução implícita. Isso é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos usar a identidade \operatorname{sen} 2x=2\operatorname{sen} x\cos x para escrever tudo como produto de função de y vezes função de x, e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Usando \operatorname{sen} 2x=2\operatorname{sen} x\cos x, a EDO fica
\bigl(e^{2y}-y\bigr)\cos x\,\frac{dy}{dx} = e^{y}\,2\operatorname{sen} x\cos x
e, desde que \cos x\neq0, simplificamos:
\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{y}\operatorname{sen} x}{\,e^{2y}-y\,}\,.

Passo 3

Separamos as variáveis, passando todos os termos em y para o lado esquerdo e os de x para o direito:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = 2\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo, divida termo a termo:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}} = e^{y}-y\,e^{-y}.
Assim precisamos calcular
\int\bigl(e^{y}-y\,e^{-y}\bigr)\,dy \quad\text{e}\quad \int2\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 5

Para a integral de y:
\int e^{y}\,dy = e^{y},
\int y\,e^{-y}\,dy \quad\text{fazendo integração por partes com } u=y,\;dv=e^{-y}dyçã
v=-e^{-y},\quad du=dy
\int y\,e^{-y}\,dy =-y\,e^{-y}+\int e^{-y}\,dy =-y\,e^{-y}-e^{-y} =-(y+1)e^{-y}.
Como no integrando tínhamos -y\,e^{-y}, a integral é
\int -y\,e^{-y}\,dy = (y+1)e^{-y}.

Passo 6

Somando as duas integrais do lado esquerdo:
\int\bigl(e^{y}-y\,e^{-y}\bigr)\,dy = e^{y} + (y+1)e^{-y}.
Do lado direito:
\int2\operatorname{sen} x\,dx = -2\cos x.
Logo, obtemos a relação
e^{y} + (y+1)e^{-y} = -2\cos x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Podemos escrever a solução implícita de forma mais simétrica, passando -2\cos x para o lado esquerdo:
e^{y} + (y+1)e^{-y} + 2\cos x = C.

Resposta

A solução implícita da EDO é
\boxed{e^{y} + (y+1)e^{-y} + 2\cos x = C.}

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