Encontre uma solução implícita para a EDO
Dica:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede uma solução implícita. Isso é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos usar a identidade
para escrever tudo como produto de função de
vezes função de
, e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Usando
, a EDO fica
e, desde que
, simplificamos:
Passo 3
Separamos as variáveis, passando todos os termos em
para o lado esquerdo e os de
para o direito:
Passo 4
No lado esquerdo, divida termo a termo:
Assim precisamos calcular
Passo 5
Para a integral de
:
Como no integrando tínhamos
, a integral é
Passo 6
Somando as duas integrais do lado esquerdo:
Do lado direito:
Logo, obtemos a relação
onde
é constante de integração.
Passo 7
Podemos escrever a solução implícita de forma mais simétrica, passando
para o lado esquerdo:
Resposta
A solução implícita da EDO é