Resolva o PVI usando a transformada de Laplace
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - y = 0,\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=1, \end{cases}
usando a transformada de Laplace. Vamos transformar a equação diferencial em equação algébrica em função de Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, resolvê-la para Y(s) e então aplicar a transformada inversa para encontrar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação y''-y=0. Lembrando que
\mathcal L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e
\mathcal L\{y\}(s)=Y(s),
temos
\bigl[s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr] \;-\; Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 na expressão acima, obtemos
s^2Y(s)-s\cdot1-1 \;-\; Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad (s^2-1)\,Y(s)-s-1=0.
Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{s+1}{s^2-1}.

Passo 4

Para inverter a transformada, decompondo em frações parciais:
\frac{s+1}{s^2-1} =\frac{s+1}{(s-1)(s+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}.
Temos
s+1 = A(s+1)+B(s-1) =(A+B)s + (A-B).
Comparando coeficientes com s+1,
A+B=1,\quad A-B=1 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\;B=0.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s-1}.

Passo 5

Reconhecendo na tabela de transformadas que
\mathcal L\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},
concluímos pela transformada inversa que
y(t)=e^{t}.

Resposta

y(t)=e^{t}.

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