Questão 1: (1.5 pontos) Considere os conceitos relacionados ao limite de uma função real.
a) Defina formalmente o que significa dizer que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L
b) Mostre que, para uma função afim f(x)=m x+b(m \neq 0), vale que
\lim _{x \rightarrow a}(m x+b)=m a+b
E se m=0 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, dar a definição formal de
\lim_{x \to a} f(x) = L
usando a linguagem de \varepsilon \delta. Depois, mostrar que, para a função afim
f(x)=m x+b,\quad m\neq0,
vale
\lim_{x\to a}(m x+b)=m a+b,
e investigar ainda o caso m=0.

Passo 2

A definição formal de
\lim_{x \to a} f(x) = L
é a seguinte:
\forall \varepsilon>0,\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Para f(x)=m x+b com m\neq0, calculemos
|f(x)-(m a+b)| = |m x + b - (m a + b)| = |m|\,|x-a|.
Dado \varepsilon>0, basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{|m|}.
Então, se 0<|x-a|<\delta segue
|f(x)-(m a+b)| = |m|\,|x-a| < |m|\,\delta = \varepsilon,
prova concluída de que
\lim_{x\to a}(m x+b)=m a+b.

Passo 4

Se m=0, então f(x)=b é função constante. Logo, para qualquer x,
|f(x)-b|=|b-b|=0<\varepsilon
sem precisar restrição sobre x. Assim
\lim_{x\to a}b = b.

Resposta

(a) Dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa
\forall \varepsilon>0,\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon.
(b) Para f(x)=m x+b com m\neq0 temos
\lim_{x\to a}(m x+b)=m a+b.
Se m=0, f(x)=b e
\lim_{x\to a}b = b.

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