Se
converge em
e diverge em
, qual o maior intervalo possível de convergência desta série? E qual o menor?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma série de potências da forma
, que está centrada em
. O enunciado informa que essa série converge em
e diverge em
. Nosso objetivo é determinar o maior e o menor intervalo possível de convergência dessa série.
Para resolver isso, precisamos lembrar sobre o raio de convergência de uma série de potências. O raio de convergência, denotado por
, nos indica até que distância a série converge em relação ao centro da série, que neste caso é
. Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência como
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre o centro da série (
) e os pontos onde a série converge e diverge.
-
Convergência em
: A distância dea é . Isso significa que o raio de convergência é pelo menos , pois a série converge dentro desse raio. -
Divergência em
: A distância dea é . Isso nos indica que o raio de convergência é no máximo , pois além dessa distância a série diverge.
Passo 3
Com base nas distâncias calculadas, sabemos que o raio de convergência
satisfaz a desigualdade:
Isso significa que o raio de convergência pode variar entre
e
. Para determinar os intervalos de convergência, vamos considerar esses valores extremos para
.
Passo 4
-
Maior intervalo de convergência:Quando
, o intervalo de convergência é dado por: Portanto, o maior intervalo possível de convergência é. No entanto, como a série diverge em , o ponto não faz parte do intervalo. -
Menor intervalo de convergência:Quando
, o intervalo de convergência é: Assim, o menor intervalo possível de convergência é. Já que a série converge exatamente em , este ponto pode ou não estar incluído dependendo do comportamento da série no limite, mas para o menor intervalo, consideramos apenas a abertura.
Resposta
O maior intervalo possível de convergência é
e o menor intervalo possível de converg��ncia é
.