Se sumn=0^infty cn(x-2)^n converge em x=0 e diverge em x=7, qual o maior intervalo possível de convergência desta série? E qual o menor?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma série de potências da forma sumn=0^infty cn(x-2)^n, que está centrada em x = 2. O enunciado informa que essa série converge em x = 0 e diverge em x = 7. Nosso objetivo é determinar o maior e o menor intervalo possível de convergência dessa série.
Para resolver isso, precisamos lembrar sobre o raio de convergência de uma série de potências. O raio de convergência, denotado por R, nos indica até que distância a série converge em relação ao centro da série, que neste caso é x = 2. Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência como 2 - R < x < 2 + R.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre o centro da série ( x = 2) e os pontos onde a série converge e diverge.
  • Convergência em x = 0:
    A distância de x = 2 a x = 0 é |2 - 0| = 2. Isso significa que o raio de convergência R é pelo menos 2, pois a série converge dentro desse raio.
  • Divergência em x = 7:
    A distância de x = 2 a x = 7 é |2 - 7| = 5. Isso nos indica que o raio de convergência R é no máximo 5, pois além dessa distância a série diverge.

Passo 3

Com base nas distâncias calculadas, sabemos que o raio de convergência R satisfaz a desigualdade:
2 <= R <= 5
Isso significa que o raio de convergência pode variar entre 2 e 5. Para determinar os intervalos de convergência, vamos considerar esses valores extremos para R.

Passo 4

  • Maior intervalo de convergência:
    Quando R = 5, o intervalo de convergência é dado por:
    2 - 5 < x < 2 + 5 Rightarrow -3 < x < 7
    Portanto, o maior intervalo possível de convergência é (-3, 7). No entanto, como a série diverge em x = 7, o ponto 7 não faz parte do intervalo.
  • Menor intervalo de convergência:
    Quando R = 2, o intervalo de convergência é:
    2 - 2 < x < 2 + 2 Rightarrow 0 < x < 4
    Assim, o menor intervalo possível de convergência é (0, 4). Já que a série converge exatamente em x = 0, este ponto pode ou não estar incluído dependendo do comportamento da série no limite, mas para o menor intervalo, consideramos apenas a abertura.

Resposta

O maior intervalo possível de convergência é (-3, 7) e o menor intervalo possível de converg��ncia é (0, 4).

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