Encontre a solução geral da EDO:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 2y' + 5y = 0
O método consiste em supor uma solução do tipo y=e^lambda x e obter a equação característica.

Passo 2

Assumindo y=e^lambda x, temos
y'=lambda e^lambda x, y''=lambda^2 e^lambda x
Substituindo na EDO,
lambda^2 e^lambda x + 2lambda e^lambda x + 5 e^lambda x = 0 Longrightarrow lambda^2 + 2lambda + 5 = 0
Resolvendo a equação característica:
lambda = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot52 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas lambda1,2=-1pm2,i, a solução geral real é dada por
y(x) = e^Re(lambda)xl(C1cos(Im(lambda)x)+C2sin(Im(lambda)x)r)
Aqui Re(lambda)=-1 e Im(lambda)=2.

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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