Verifique se as funções y1=e^3 x e y2=e^-x são linearmente independentes usando o Wronskiano.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1=e^3x e y2=e^-x
são linearmente independentes. O conteúdo é a teoria de Wronskiano de duas soluções, e vamos usar a definição
W(y1,y2)(x)= y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) = y1(x),y2'(x)-y2(x),y1'(x)

Passo 2

Calcular as derivadas das funções:
y1'(x)=ddxe^3x=3e^3x, y2'(x)=ddxe^-x=-e^-x

Passo 3

Substituir ,y1,y2,y1',y2' na definição do Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = e^3xl(-e^-xr)-e^-xl(3e^3xr) = -e^2x-3e^2x = -4e^2x

Passo 4

Observar que
W(y1,y2)(x)=-4e^2x
é diferente de zero para todo xinR. Pelo critério de Wronskiano, isso implica que y1 e y2 são linearmente independentes.

Resposta

As funções são linearmente independentes, pois o Wronskiano
W(y1,y2)(x)=-4e^2xneq0 para todo x.

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