Resolva a EDO homogênea:
y^prime prime+2 y^prime-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 8y = 0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico: a gente assume uma solução do tipo y=e^rx e transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Supondo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo na EDO:
r^2 e^rx + 2r e^rx -8 e^rx=0 Longrightarrow (r^2 + 2r - 8),e^rx=0
Como e^rxneq0, o caráter da solução fica na equação característica
r^2 + 2r - 8 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2 + 2r - 8 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-8)2cdot1 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm 62
Logo os dois raízes são
r1 = -2 + 62 = 2, r2 = -2 - 62 = -4

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1,e^r1x + C2,e^r2x = C1,e^2x + C2,e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1,e^2x + C2,e^-4x

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