Encontre a solução geral da edo y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=x^{2}+e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral da EDO”
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = x^{2}+e^{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma equação diferencial linear de 3ª ordem com coeficientes constantes.
  • O lado direito (termo não-homogêneo) é a soma de dois termos: um polinômio x^{2} e uma exponencial e^{x}.
  • A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = 0.
Para isso escrevemos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{3}-r^{2}+r-1=0.
Fatoramos por agrupamento:
r^{2}(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^{2}+1)=0.
Logo as raízes são r=1 e r^{2}+1=0\Rightarrow r=\pm i.
Relembrando um fato importante: se a equação característica tem raiz real r simples, contribui e^{rx}. Se tem par de raízes complexas \alpha\pm i\beta, contribui e^{\alpha x}(C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)). Aqui \alpha=0 e \beta=1 para as raízes \pm i.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Usamos o princípio da superposição: como o termo não-homogêneo é soma de x^{2} e e^{x}, podemos buscar y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}, onde y_{p}^{(1)} resolve a parte x^{2} e y_{p}^{(2)} resolve a parte e^{x}.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Regras práticas que vamos usar:
  • Para o termo polinomial x^{2}, tentamos um polinômio de mesmo grau Ax^{2}+Bx+C, exceto se 0 for raiz da característica (não é o caso aqui).
  • Para o termo e^{x}, tentamos D e^{x}, mas como r=1 é raiz da característica (ressonância) de multiplicidade 1, multiplicamos por x e tentamos D x e^{x}.
Vou calcular separadamente cada parte com detalhes.

Passo 4

Parte polinomial: suponha
y_{p}^{(1)}=Ax^{2}+Bx+C.
Calculamos derivadas:
y_{p}^{(1)\prime}=2Ax+B,
y_{p}^{(1)\prime\prime}=2A,
y_{p}^{(1)\prime\prime\prime}=0.
Aplicamos o operador L[y]=y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y:
L[y_{p}^{(1)}]=0-2A+(2Ax+B)-(Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando termos por potências de x:
L[y_{p}^{(1)}]=(-A)x^{2}+(2A-B)x+(-2A+B-C).
Queremos que isto seja igual ao lado direito polinomial x^{2}, ou seja
(-A)x^{2}+(2A-B)x+(-2A+B-C)=1\cdot x^{2}+0\cdot x+0.
Comparando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} -A=1,\\[4pt] 2A-B=0,\\[4pt] -2A+B-C=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
A=-1,
2(-1)-B=0 \Rightarrow -2-B=0 \Rightarrow B=-2,
-2(-1)+(-2)-C=0 \Rightarrow 2-2-C=0 \Rightarrow C=0.
Logo a solução particular para a parte polinomial é
y_{p}^{(1)}=-x^{2}-2x.]

Passo 5

Parte exponencial: procuramos y_{p}^{(2)} para o termo e^{x}. Como r=1 é raiz simples da característica, usamos o trial
y_{p}^{(2)}=D x e^{x}.
Calculamos derivadas (detalhando a regra do produto):
y_{p}^{(2)\prime}=D\,(e^{x}+x e^{x})=D e^{x}(1+x),
y_{p}^{(2)\prime\prime}=D\,(e^{x}(1+x)+e^{x})=D e^{x}(x+2),
y_{p}^{(2)\prime\prime\prime}=D\,(e^{x}(x+2)+e^{x})=D e^{x}(x+3).
Agora aplicamos o operador:
L[y_{p}^{(2)}]=y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y = D e^{x}\big((x+3)-(x+2)+(1+x)-x\big).
Simplificando o que está entre parênteses:
(x+3)-(x+2)=1,\quad 1+(1+x)-x=2,
portanto o total é 2. Assim
L[y_{p}^{(2)}]=2D e^{x}.
Queremos que isto seja igual ao termo e^{x} do lado direito, isto é 1\cdot e^{x}. Assim
2D e^{x}=1\cdot e^{x}\Rightarrow D=\tfrac{1}{2}.
Logo
y_{p}^{(2)}=\tfrac{1}{2}x e^{x}.

Passo 6

A solução particular total é a soma das duas partes:
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}=-x^{2}-2x+\tfrac{1}{2}x e^{x}.
Pela linearidade, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x -x^{2}-2x+\tfrac{1}{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x -x^{2}-2x+\tfrac{1}{2}x e^{x}.

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