Para isso escrevemos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{3}-r^{2}+r-1=0.
Fatoramos por agrupamento:
r^{2}(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^{2}+1)=0.
Logo as raízes são r=1 e r^{2}+1=0\Rightarrow r=\pm i.
Relembrando um fato importante: se a equação característica tem raiz real r simples, contribui e^{rx}. Se tem par de raízes complexas \alpha\pm i\beta, contribui e^{\alpha x}(C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)). Aqui \alpha=0 e \beta=1 para as raízes \pm i.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Usamos o princípio da superposição: como o termo não-homogêneo é soma de x^{2} e e^{x}, podemos buscar y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}, onde y_{p}^{(1)} resolve a parte x^{2} e y_{p}^{(2)} resolve a parte e^{x}.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Regras práticas que vamos usar:
Para o termo polinomial x^{2}, tentamos um polinômio de mesmo grau Ax^{2}+Bx+C, exceto se 0 for raiz da característica (não é o caso aqui).
Para o termo e^{x}, tentamos D e^{x}, mas como r=1 é raiz da característica (ressonância) de multiplicidade 1, multiplicamos por x e tentamos D x e^{x}.
Vou calcular separadamente cada parte com detalhes.
Passo 4
Parte polinomial: suponha
y_{p}^{(1)}=Ax^{2}+Bx+C.
Calculamos derivadas:
y_{p}^{(1)\prime}=2Ax+B,
y_{p}^{(1)\prime\prime}=2A,
y_{p}^{(1)\prime\prime\prime}=0.
Aplicamos o operador L[y]=y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y:
L[y_{p}^{(1)}]=0-2A+(2Ax+B)-(Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando termos por potências de x:
L[y_{p}^{(1)}]=(-A)x^{2}+(2A-B)x+(-2A+B-C).
Queremos que isto seja igual ao lado direito polinomial x^{2}, ou seja