1. (2 pts) Encontre a solução geral da equação \left(1+e^{x}\right) y y^{\prime}=e^{x} e determine a única solução que passa pelo ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1+e^{x}\right) y y^{\prime}=e^{x}
e pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral; (ii) determinar a única solução que passa pelo ponto (0,1). Informações relevantes dadas: a equação envolve y e sua derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}; o ponto inicial é x=0 com y(0)=1.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis y e x. Dividindo ambos os lados por 1+e^{x} e por y (assumindo y\neq0; mais adiante comentamos isso) obtemos
y\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Separação de variáveis significa escrever todos os termos com y acompanhando dy e todos os termos com x acompanhando dx. Aqui já está separado: podemos escrever
y\,dy=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. No lado direito usamos a substituição u=1+e^{x}. Então du=e^{x}dx, e a integral fica
\int \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx=\int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C_{2}=\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C_{2}.
Juntando as constantes (podemos combinar C_{1} e C_{2} numa só), obtemos a relação implícita
\frac{y^{2}}{2}=\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 4

Isolando y da expressão acima:
y^{2}=2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+2C.
Chamando K=2C (constante arbitrária), a solução geral explícita é
y=\pm\sqrt{\,2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+K\,}.
Observações importantes: (i) o sinal \pm aparece porque ao tirar raiz quadrada temos duas possibilidades; (ii) para solução real precisamos que o radicando seja não negativo, isto é 2\ln(1+e^{x})+K\ge0 no domínio considerado; (iii) y\equiv0 não é solução da equação original, pois substituir y=0 deixaria 0=e^{x}, o que não é verdade.

Passo 5

Agora impor a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 temos e^{0}=1 e \ln(1+e^{0})=\ln 2. Na fórmula y^{2}=2\ln(1+e^{x})+K isso dá
1^{2}=2\ln 2 + K \quad\Rightarrow\quad K=1-2\ln 2.

Passo 6

Com K=1-2\ln 2 a família reduz-se a
y=\pm\sqrt{\,2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+1-2\ln 2\,}.
Para passar por (0,1) precisamos que y(0)=1. Avaliando a raiz em x=0 e usando o K encontrado, a raiz positiva dá y(0)=+\sqrt{1}=1, enquanto a raiz negativa daria y(0)=-1. Portanto a única solução que satisfaz y(0)=1 é a com sinal positivo. Podemos simplificar um pouco a expressão dentro da raiz:
2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+1-2\ln 2 = 1 + 2\ln\!\left(\dfrac{1+e^{x}}{2}\right).

Passo 7

Verificação rápida (para dar segurança): diferenciando implicitamente
\frac{y^{2}}{2}=\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C
obtemos y y^{\prime}=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}, que é exatamente a forma rearranjada da equação dada, logo a solução encontrada é consistente. A condição inicial determina unicamente o sinal da raiz, por isso a solução particular é única.

Resposta

y=\pm\sqrt{\,2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+K\,}, com K\in\mathbb{R}.\n
y=\sqrt{\,2\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+1-2\ln 2\,}=\sqrt{\,1+2\ln\!\left(\dfrac{1+e^{x}}{2}\right)\,} (solução que passa por (0,1)).

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