- (2 pts) Encontre a solução geral da equação
e determine a única solução que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) encontrar a solução geral; (ii) determinar a única solução que passa pelo ponto
. Informações relevantes dadas: a equação envolve
e sua derivada
; o ponto inicial é
com
.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
; mais adiante comentamos isso) obtemos
Separação de variáveis significa escrever todos os termos com
acompanhando
e todos os termos com
acompanhando
. Aqui já está separado: podemos escrever
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta:
onde
é uma constante de integração. No lado direito usamos a substituição
. Então
, e a integral fica
Juntando as constantes (podemos combinar
e
numa só), obtemos a relação implícita
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 4
Isolando
da expressão acima:
Chamando
(constante arbitrária), a solução geral explícita é
Observações importantes: (i) o sinal
aparece porque ao tirar raiz quadrada temos duas possibilidades; (ii) para solução real precisamos que o radicando seja não negativo, isto é
no domínio considerado; (iii)
não é solução da equação original, pois substituir
deixaria
, o que não é verdade.
Passo 5
Agora impor a condição inicial
. Substituindo
temos
e
. Na fórmula
isso dá
Passo 6
Com
a família reduz-se a
Para passar por
precisamos que
. Avaliando a raiz em
e usando o
encontrado, a raiz positiva dá
, enquanto a raiz negativa daria
. Portanto a única solução que satisfaz
é a com sinal positivo. Podemos simplificar um pouco a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Verificação rápida (para dar segurança): diferenciando implicitamente
obtemos
, que é exatamente a forma rearranjada da equação dada, logo a solução encontrada é consistente. A condição inicial determina unicamente o sinal da raiz, por isso a solução particular é única.