Encontre a solução para os seguintes problemas de valor inicial.
ly^prime-e^2 t=2 y y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que envolve uma função y(t) e sua derivada. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para solucionar esse tipo de equação. Vamos precisar rearranjar a equação e aplicar umas integrais para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação numa forma mais familiar para resolver. A equação que temos é:
y' - e^2t = 2y
Vamos rearrumar pra deixar tudo com y de um lado:
y' - 2y = e^2t
Agora, está na forma padrão de uma equação linear:
y' + P(t)y = Q(t)
Onde, no nosso caso, P(t) = -2 e Q(t) = e^2t .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. A fórmula para o fator integrante mu(t) é:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = -2 :
mu(t) = e^integral -2 dt = e^-2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^-2t y' - 2e^-2t y = e^-2t cdot e^2t
Simplificando o lado direito:
e^-2t y' - 2e^-2t y = 1

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Ou seja:
ddt [e^-2t y] = 1
Isso facilita muito a resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a t .

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
integral ddt [e^-2t y] dt = integral 1 dt
Isso resulta em:
e^-2t y = t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos y para encontrar sua expressão:
y = e^2t (t + C)

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar o valor de C :
2 = e^0 (0 + C) Rightarrow 2 = C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^2t (t + 2)

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