Resolva a Equação diferencial ordinária dada abaixo, pelo método de serie de potência, com todos os detalhes.
y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação y'+y=0 usando o método de séries de potência. Aqui vamos supor uma solução na forma de série de Maclaurin e obter a relação de recorrência entre os coeficientes.

Passo 2

Assumimos que a solução pode ser escrita como
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Em seguida, vamos derivar termo a termo.

Passo 3

Derivando temos
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1
Para alinhar as potências de x, reindexamos: fazendo k=n-1, obtemos
y'(x)=sumk=0^infty (k+1)ak+1x^k

Passo 4

Substituímos y e y' na equação y'+y=0, resultando em
sumn=0^inftyl((n+1)an+1+anr)x^n=0
Para que essa soma seja zero para todo x, cada coeficiente deve anular: (n+1)an+1+an=0 para todo n>=0.

Passo 5

Da relação (n+1)an+1=-an segue
an+1=-ann+1
Aplicando repetidamente, vemos que
an=(-1)^nn!,a0,
já que a1=-a0/1!, a2=+a0/2! e assim por diante.

Passo 6

Substituindo esses coeficientes na série, obtemos
y(x)=sumn=0^infty a0(-1)^nn!x^n=a0sumn=0^infty(-x)^nn!=a0e^-x
Definindo a constante de integração C=a0, chegamos à solução geral y(x)=Ce^-x.

Resposta

y(x)=Ce^-x

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