Resolva a Equação diferencial ordinária dada abaixo, pelo método de serie de potência, com todos os detalhes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando o método de séries de potência. Aqui vamos supor uma solução na forma de série de Maclaurin e obter a relação de recorrência entre os coeficientes.
Passo 2
Assumimos que a solução pode ser escrita como
Em seguida, vamos derivar termo a termo.
Passo 3
Derivando temos
Para alinhar as potências de
, reindexamos: fazendo
, obtemos
Passo 4
Substituímos
e
na equação
, resultando em
Para que essa soma seja zero para todo
, cada coeficiente deve anular:
para todo
.
Passo 5
Da relação
segue
Aplicando repetidamente, vemos que
já que
,
e assim por diante.
Passo 6
Substituindo esses coeficientes na série, obtemos
Definindo a constante de integração
, chegamos à solução geral
.