Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
f(x)=x+\pi \quad se -\pi<x<\pi
e f(x+2 \pi)=f(x)

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2\pi, dada em -\pi<x<\pi por
f(x)=x+\pi
e estendida com f(x+2\pi)=f(x). O conteúdo é “série de Fourier de função periódica” e precisaremos calcular os coeficientes
\displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n pela definição usual e depois montar
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Passo 2

Esboço do gráfico: em -\pi<x<\pi temos uma reta de inclinação 1 que passa por (-\pi,0) e por (\pi,2\pi). Como é periódica de período 2\pi, basta repetir esse “dente de serra” para todo x.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}\pi\,dx\Bigr] =\frac{1}{\pi}\bigl[0+2\pi^2\bigr] =2\pi.
Logo o termo constante é \tfrac{a_0}{2}=\pi.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx +\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx\Bigr].
O segundo integral é zero por simetria, e o primeiro também é zero (produto de função ímpar x por função par \cos(nx)). Assim
a_n=0\quad\forall\,n\ge1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx
(surge zero o termo com \pi\sin(nx) por ser integral de função ímpar). Como x\sin(nx) é par,
\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =2\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =2\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =2\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr) =-2\pi\frac{(-1)^n}{n}.
Logo
b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(-2\pi\frac{(-1)^n}{n}\Bigr) =-2\frac{(-1)^n}{n} =2\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 6

Montando a série de Fourier, obtemos
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\pi+\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,\sin(nx).

Resposta

O gráfico é um “dente de serra” que vai de (-\,\pi,0) a (\pi,2\pi) e se repete com período 2\pi.
A série de Fourier fica:
\boxed{% f(x)=\pi+\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,\sin(nx).% }

Exercícios relacionados