Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
se
e
e
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período
, dada em
por
e estendida com
. O conteúdo é “série de Fourier de função periódica” e precisaremos calcular os coeficientes
pela definição usual e depois montar
Passo 2
Esboço do gráfico: em
temos uma reta de inclinação 1 que passa por
e por
. Como é periódica de período
, basta repetir esse “dente de serra” para todo
.
Passo 3
Cálculo de
:
Logo o termo constante é
.
Passo 4
Cálculo de
para
:
O segundo integral é zero por simetria, e o primeiro também é zero (produto de função ímpar
por função par
). Assim
Passo 5
Cálculo de
para
:
(surge zero o termo com
por ser integral de função ímpar). Como
é par,
Logo
Passo 6
Montando a série de Fourier, obtemos
Resposta
O gráfico é um “dente de serra” que vai de
a
e se repete com período
.
A série de Fourier fica:
A série de Fourier fica: