Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada usando a equação característica, e em seguida achar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados (aqui convenientemente usando a fatoração do operador e o método complexo).
Passo 2
Escrevemos a parte homogênea
e montamos a equação característica
Reconhecemos o trinômio como quadrado perfeito:
logo
cada um com multiplicidade 2.
Passo 3
Pelas raízes complexas repetidas temos a solução geral da homogênea
com
constantes arbitrárias.
Passo 4
Observe que o operador diferencial se fatoriza como
onde
. Para encontrar uma solução particular para o termo
fazemos o método complexo: buscamos
tal que
Como
é raiz de multiplicidade 2, assumimos
Calcula-se
portanto exigindo
obtemos
Assim
Passo 5
Como
, extraímos a parte imaginária de
para obter a solução particular real:
Logo a solução geral é
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.