Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
y^(4)+2 y^(2)+y=sin (t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + 2y'' + y = sin(t)
Para resolver, vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada usando a equação característica, e em seguida achar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados (aqui convenientemente usando a fatoração do operador e o método complexo).

Passo 2

Escrevemos a parte homogênea
y^(4) + 2y'' + y = 0
e montamos a equação característica
r^4 + 2r^2 + 1 = 0
Reconhecemos o trinômio como quadrado perfeito:
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0
logo
r^2 = -1 Longrightarrow r = i,,-i
cada um com multiplicidade 2.

Passo 3

Pelas raízes complexas repetidas temos a solução geral da homogênea
yh(t) = (C1 + C2,t)cos t ;+; (C3 + C4,t)sin t,
com C1,dots,C4 constantes arbitrárias.

Passo 4

Observe que o operador diferencial se fatoriza como
D^4 + 2D^2 + 1 = (D^2+1)^2,
onde D=tfracddt. Para encontrar uma solução particular para o termo sin t fazemos o método complexo: buscamos Y(t) tal que
(D^2+1)^2[Y] = e^it
Como r=i é raiz de multiplicidade 2, assumimos
Y(t) = K,t^2 e^it
Calcula-se
(D^2+1)^2l[t^2 e^itr] = -8,e^it,
portanto exigindo (D^2+1)^2[Y]=e^it obtemos
K(-8)e^it = e^it Longrightarrow K = -tfrac18
Assim
Y(t) = -tfrac18,t^2 e^it

Passo 5

Como sin t=Im(e^it), extraímos a parte imaginária de Y para obter a solução particular real:
yp(t) = Iml(Y(t)r) = Iml(-tfrac18,t^2 e^itr) = -tfrac18,t^2sin t
Logo a solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2,t)cos t + (C3 + C4,t)sin t ;-;tfrac18,t^2sin t

Resposta

boxed y(t) = (C1 + C2,t)cos t ;+; (C3 + C4,t)sin t ;-;18,t^2sin t,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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