Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A incógnita é a função
, dependente de uma variável independente que chamaremos de . - O apóstrofo
significa derivada de em relação a , ou seja . - A equação é linear de primeira ordem com termo independente constante.
O objetivo é determinar a família de todas as soluções, em termos de uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método eficiente e explicado passo a passo. Para equações lineares de primeira ordem do tipo
é padrão usar o fator integrante. Vou explicar a fórmula do fator integrante e por que ela funciona.
Fator integrante: define-se
Multiplicando a equação original por
obtém-se
Mas a escolha de
garante que a esquerda é a derivada do produto
, pois
e
por construção. Assim a equação vira
Isso transforma a equação diferencial numa igualdade de derivadas que pode ser integrada diretamente.
Passo 3
Aplique esse método ao nosso caso. Aqui
e
. Calcule o fator integrante:
Multiplicando a equação dada por
obtemos
Passo 4
Reconhecendo a esquerda como derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada recupera o produto, e a integral à direita é simples.
Passo 5
Calcule as integrais:
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária real).
Para isolar dividimos por
:
Para isolar
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (útil na prova): a solução geral é soma da solução particular e da solução homogênea.
- Solução particular:
(testar: confirma). - Solução da homogênea
: resolver separando variáveis ou reconhecendo exponencial dá .
Somando:, que coincide com o resultado obtido pelo fator integrante.
Também é fácil verificar substituindona equação original que a identidade se mantém para todo .