Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
u^{\prime}+u=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
u' + u = 2.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u, dependente de uma variável independente que chamaremos de x.
  • O apóstrofo u' significa derivada de u em relação a x, ou seja u'=\dfrac{du}{dx}.
  • A equação é linear de primeira ordem com termo independente constante.
    O objetivo é determinar a família de todas as soluções u(x), em termos de uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método eficiente e explicado passo a passo. Para equações lineares de primeira ordem do tipo
u' + p(x)\,u = q(x)
é padrão usar o fator integrante. Vou explicar a fórmula do fator integrante e por que ela funciona.
Fator integrante: define-se
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtém-se
\mu(x)u' + \mu(x)p(x)u = \mu(x)q(x).
Mas a escolha de \mu garante que a esquerda é a derivada do produto \mu(x)u(x), pois
\big(\mu(x)u(x)\big)' = \mu(x)u'(x) + \mu'(x)u(x)
e \mu'(x)=\mu(x)p(x) por construção. Assim a equação vira
\big(\mu u\big)' = \mu q.
Isso transforma a equação diferencial numa igualdade de derivadas que pode ser integrada diretamente.

Passo 3

Aplique esse método ao nosso caso. Aqui p(x)=1 e q(x)=2. Calcule o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 1\,dx\Big)=\exp(x)=e^{x}.
Multiplicando a equação dada por e^{x} obtemos
e^{x}u' + e^{x}u = 2e^{x}.

Passo 4

Reconhecendo a esquerda como derivada do produto:
\big(e^{x}u\big)' = 2e^{x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{x}u\big)'\,dx = \int 2e^{x}\,dx.
A integral da derivada recupera o produto, e a integral à direita é simples.

Passo 5

Calcule as integrais:
e^{x}u(x) = 2e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária real).
Para isolar u(x) dividimos por e^{x}:
u(x) = 2 + Ce^{-x}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (útil na prova): a solução geral é soma da solução particular e da solução homogênea.
  • Solução particular: u_p(x)=2 (testar: u_p'+u_p=0+2=2 confirma).
  • Solução da homogênea u'+u=0: resolver separando variáveis ou reconhecendo exponencial dá u_h(x)=Ce^{-x}.
    Somando: u(x)=u_p+u_h=2+Ce^{-x}, que coincide com o resultado obtido pelo fator integrante.
    Também é fácil verificar substituindo u(x)=2+Ce^{-x} na equação original que a identidade se mantém para todo x.

Resposta

u(x)=2+Ce^{-x}

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