Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
,
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação é linear de primeira ordem para a função desconhecida
. - Não há condições iniciais fornecidas, portanto queremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor), apropriado para equações lineares da forma
onde
e
são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Essa função
é dada por
Motivação curta: se
, então
ou seja, multiplicando por
transformamos o lado esquerdo na derivada de
.
Passo 3
Na nossa equação temos
. Então o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Ou seja,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá simplesmente
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora calculamos a integral
. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
A integral de
é
, logo
Substituindo na expressão do passo anterior (absorvendo constantes na única constante
) obtemos
Passo 7
Isolando
dividindo por
,
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para ter confiança): calcule
. Então
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.