Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
u^{\prime}+u=2 t,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
u'(t)+u(t)=2t.
Informações dadas:
  • A equação é linear de primeira ordem para a função desconhecida u(t).
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (integrating factor), apropriado para equações lineares da forma
u'(t)+p(t)\,u(t)=g(t),
onde p(t) e g(t) são funções conhecidas. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)u(t). Essa função \mu(t) é dada por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Motivação curta: se \mu'(t)=\mu(t)p(t), então
(\mu u)'=\mu u'+\mu' u=\mu\big(u'+p u\big),
ou seja, multiplicando por \mu transformamos o lado esquerdo na derivada de \mu u.

Passo 3

Na nossa equação temos p(t)=1. Então o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 1\,dt\Big)=\exp(t)=e^{t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^{t}:
e^{t}u'(t)+e^{t}u(t)=2t\,e^{t}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{t}u(t). Ou seja,
\big(e^{t}u(t)\big)'=2t\,e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \big(e^{t}u(t)\big)'\,dt=\int 2t\,e^{t}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá simplesmente e^{t}u(t). Portanto
e^{t}u(t)=\int 2t\,e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora calculamos a integral \displaystyle \int 2t\,e^{t}\,dt. Usamos integração por partes, cuja fórmula é
\int U\,dV = U V - \int V\,dU.
Escolhemos U=2t e dV=e^{t}\,dt. Então dU=2\,dt e V=e^{t}. Aplicando:
\int 2t\,e^{t}\,dt = (2t)e^{t} - \int e^{t}\cdot 2\,dt = 2t e^{t} - 2\int e^{t}\,dt.
A integral de e^{t} é e^{t}, logo
\int 2t\,e^{t}\,dt = 2t e^{t} - 2 e^{t} + \text{const}.
Substituindo na expressão do passo anterior (absorvendo constantes na única constante C) obtemos
e^{t}u(t)=2t e^{t} - 2 e^{t} + C.

Passo 7

Isolando u(t) dividindo por e^{t},
u(t)=2t-2 + C e^{-t},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para ter confiança): calcule u'(t)=2 - C e^{-t}. Então
u'(t)+u(t)=(2 - C e^{-t}) + (2t-2 + C e^{-t})=2t,
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

u(t)=2t-2+C\,e^{-t}, com C\in\mathbb{R}.

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