Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
u^{\prime}+t u=10

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
u'(t) + t\,u(t) = 10.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u(t).
  • A equação está escrita na forma u' + p(t)u = q(t) com p(t)=t e q(t)=10.
    O objetivo é encontrar a família de soluções gerais u(t) (contendo a constante arbitrária).

Passo 2

Identificar o método apropriado: esta é uma equação linear de primeira ordem. O método padrão é o da fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia de forma bem direta e intuitiva.
Explicação do método (mini-aula):
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \,u'(t)+p(t)u(t)=q(t).
  • Procuramos uma função \mu(t) (o fator integrante) tal que, multiplicando toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto: \frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big).
  • Para que isso aconteça, devemos ter \mu'(t)=\mu(t)p(t), o que é uma equação separável para \mu. Assim
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt},
onde constantes multiplicativas podem ser absorvidas depois.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso p(t)=t:
\mu(t)=e^{\int t\,dt}=e^{t^{2}/2}.
Observação: a constante de integração multiplicativa pode ser desprezada porque será absorvida pela constante final da solução.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t). Fazendo isso temos
e^{t^{2}/2}u'(t)+t e^{t^{2}/2}u(t)=10 e^{t^{2}/2}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(t)u(t). Ou seja,
\frac{d}{dt}\!\left(e^{t^{2}/2}u(t)\right)=10 e^{t^{2}/2}.
Isso é útil porque reduz a EDO a uma integração direta.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
e^{t^{2}/2}u(t)=\int 10 e^{t^{2}/2}\,dt + C,
onde C é a constante de integração (aqui C\in\mathbb{R}).
Comentário didático: a integral \int e^{t^{2}/2}\,dt não tem primitiva elementar (isto é, não se expressa com polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos, etc.). Por isso é perfeitamente aceitável deixar a solução em termos dessa integral. Em cursos mais avançados essa integral é escrita com a função erro imaginária \operatorname{erfi}, mas isso não é necessário para a prova se deixar em forma de integral.

Passo 6

Isolar u(t) dividindo por e^{t^{2}/2}:
u(t)=e^{-t^{2}/2}\left(\;10\int e^{t^{2}/2}\,dt + C\;\right).
Podemos também separar os termos para ver a contribuição da solução homogênea e da particular:
u(t)=C e^{-t^{2}/2} + 10\,e^{-t^{2}/2}\int e^{t^{2}/2}\,dt.
Aqui C e^{-t^{2}/2} é a solução geral da equação homogênea u'+t u=0 e a segunda parcela é uma particular da equação completa.

Passo 7

Observação opcional (se quiser uma forma com função especial): usando \operatorname{erfi} vale
\int e^{t^{2}/2}\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\operatorname{erfi}\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+\tilde C,
logo uma forma alternativa é
u(t)=e^{-t^{2}/2}\left(10\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\operatorname{erfi}\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+C\right).
Mas, reforçando, para a maioria das provas deixar a solução em termos da integral \int e^{t^{2}/2}\,dt é suficiente e esperado.

Resposta

u(t)=e^{-t^{2}/2}\left(10\int e^{t^{2}/2}\,dt + C\right).

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