Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação está escrita na forma
com e .
O objetivo é encontrar a família de soluções gerais(contendo a constante arbitrária).
Passo 2
Identificar o método apropriado: esta é uma equação linear de primeira ordem. O método padrão é o da fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia de forma bem direta e intuitiva.
Explicação do método (mini-aula):
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. - Procuramos uma função
(o fator integrante) tal que, multiplicando toda a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada de um produto: . - Para que isso aconteça, devemos ter
, o que é uma equação separável para . Assim
onde constantes multiplicativas podem ser absorvidas depois.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Observação: a constante de integração multiplicativa pode ser desprezada porque será absorvida pela constante final da solução.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso temos
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Isso é útil porque reduz a EDO a uma integração direta.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (aqui
).
Comentário didático: a integral
não tem primitiva elementar (isto é, não se expressa com polinômios, exponenciais, senos, cossenos, logaritmos, etc.). Por isso é perfeitamente aceitável deixar a solução em termos dessa integral. Em cursos mais avançados essa integral é escrita com a função erro imaginária
, mas isso não é necessário para a prova se deixar em forma de integral.
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Podemos também separar os termos para ver a contribuição da solução homogênea e da particular:
Aqui
é a solução geral da equação homogênea
e a segunda parcela é uma particular da equação completa.
Passo 7
Observação opcional (se quiser uma forma com função especial): usando
vale
logo uma forma alternativa é
Mas, reforçando, para a maioria das provas deixar a solução em termos da integral
é suficiente e esperado.