Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a função desconhecida e
. A tarefa é encontrar a solução geral, isto é, a família de todas as soluções
que satisfazem essa equação (sem condições iniciais fornecidas).
Passo 2
Vamos escrever a equação em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
Comparando com a equação dada, obtemos
Aqui
é o coeficiente que multiplica
e
é o termo não-homogêneo (fonte). A equação é linear e de primeira ordem, então o método do fator integrante é a escolha natural e simples.
Passo 3
Explicação do método do fator integrante (passo-a-passo didático):
- A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto . - Se escolhermos
tal que , então
- Portanto escolhemos
que é chamado fator integrante. Isso transforma a equação original em
Passo 4
Calcule o fator integrante para o nosso caso. Como
,
Multiplicando a equação original por
obtemos
No lado direito
. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (arbitrária). Agora isolamos
:
Pronto: essa é a solução geral.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): a solução geral deve ser soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. A homogênea
tem solução
. Para achar uma particular, tenta-se
; derivando e substituindo encontra-se
, logo
. Somando
obtém-se exatamente
, confirmando o resultado.