Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
u^{\prime}-u=e^{t},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u^{\prime}-u=e^{t},
onde u=u(t) é a função desconhecida e u^{\prime}=\dfrac{du}{dt}. A tarefa é encontrar a solução geral, isto é, a família de todas as soluções u(t) que satisfazem essa equação (sem condições iniciais fornecidas).

Passo 2

Vamos escrever a equação em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
u^{\prime}+p(t)u=q(t).
Comparando com a equação dada, obtemos
p(t)=-1,\qquad q(t)=e^{t}.
Aqui p(t) é o coeficiente que multiplica u e q(t) é o termo não-homogêneo (fonte). A equação é linear e de primeira ordem, então o método do fator integrante é a escolha natural e simples.

Passo 3

Explicação do método do fator integrante (passo-a-passo didático):
  • A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) de modo que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)u(t).
  • Se escolhermos \mu(t) tal que \mu'(t)=p(t)\mu(t), então
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t)=\mu(t)\big(u'(t)+p(t)u(t)\big).
  • Portanto escolhemos
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt},
que é chamado fator integrante. Isso transforma a equação original em
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)q(t).

Passo 4

Calcule o fator integrante para o nosso caso. Como p(t)=-1,
\mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t)=e^{-t} obtemos
e^{-t}u^{\prime}-e^{-t}u = e^{-t}e^{t}.
No lado direito e^{-t}e^{t}=1. No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)\,dt = \int 1\,dt.
Isso dá
e^{-t}u(t) = t + C,
onde C é a constante de integração (arbitrária). Agora isolamos u(t):
u(t)=e^{t}\big(t + C\big)=t e^{t} + C e^{t}.
Pronto: essa é a solução geral.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): a solução geral deve ser soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. A homogênea u'-u=0 tem solução u_h(t)=C e^{t}. Para achar uma particular, tenta-se u_p(t)=A t e^{t}; derivando e substituindo encontra-se A=1, logo u_p(t)=t e^{t}. Somando u_h+u_p obtém-se exatamente u(t)=t e^{t}+C e^{t}, confirmando o resultado.

Resposta

u(t)=\big(t+C\big)e^{t},\quad C\in\mathbb{R}

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