Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
u^{\prime}+u=t e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
u'(t)+u(t)=t\,e^{-t}.
Informações relevantes:
  • A incógnita é a função u(t).
  • É pedida a solução geral (ou seja, com constante de integração).
  • O termo do lado direito é t\,e^{-t}.

Passo 2

Vamos escolher um método apropriado e explicar a ideia de forma didática. A equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
u'(t)+p(t)u(t)=q(t),
onde, aqui, p(t)=1 e q(t)=t\,e^{-t}.
A técnica mais direta é o fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(t) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \big(\mu(t)u(t)\big)'. Procuramos \mu(t) tal que
\big(\mu(t)u(t)\big)'=\mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t)=\mu(t)\big(u'(t)+p(t)u(t)\big).
Comparando os termos que multiplicam u(t) obtemos a condição
\mu'(t)=\mu(t)p(t).
Isso é uma equação diferencial separável para \mu. Em geral a solução é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
No nosso caso p(t)=1, então
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 1\,dt\Big)=\exp(t)=e^{t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t}. Fazendo isso obtemos
e^{t}u'(t)+e^{t}u(t)=e^{t}\big(u'(t)+u(t)\big)=e^{t}\cdot t\,e^{-t}=t.
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{t}u(t)\big)'=t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t. A integral do lado esquerdo recupera o produto, e do lado direito integrando t obtemos uma primitiva:
\int \big(e^{t}u(t)\big)'\,dt=\int t\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{t}u(t)=\frac{1}{2}t^{2}+C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 5

Agora isolamos u(t) dividindo por e^{t}:
u(t)=e^{-t}\left(\frac{1}{2}t^{2}+C\right).
Vale a pena checar rapidamente: calcule u'(t). Usando regra do produto em \tfrac{1}{2}t^{2}e^{-t} e em C e^{-t},
u'(t)=\Big(t e^{-t}-\tfrac{1}{2}t^{2}e^{-t}\Big)-C e^{-t}.
Somando u'(t)+u(t) nota-se que os termos com \tfrac{1}{2}t^{2}e^{-t} e com C e^{-t} se cancelam, sobrando exatamente t e^{-t}, ou seja a solução satisfaz a equação original. Boa notícia: está correta.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (memorização prática):
  • Identificar p(t) na forma u'+p(t)u=q(t).
  • Fazer \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
  • Multiplicar e obter (\mu u)'= \mu q.
  • Integrar e isolar u.
Força aí — com esse passo a passo você aplica a mesma receita a qualquer EDO linear de primeira ordem.

Resposta

u(t)=e^{-t}\left(\dfrac{1}{2}t^{2}+C\right)

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