Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - É pedida a solução geral (ou seja, com constante de integração).
- O termo do lado direito é
.
Passo 2
Vamos escolher um método apropriado e explicar a ideia de forma didática. A equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem
onde, aqui,
e
.
A técnica mais direta é o fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Procuramos
tal que
Comparando os termos que multiplicam
obtemos a condição
Isso é uma equação diferencial separável para
. Em geral a solução é
No nosso caso
, então
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo recupera o produto, e do lado direito integrando
obtemos uma primitiva:
onde
é a constante de integração (real).
Passo 5
Agora isolamos
dividindo por
:
Vale a pena checar rapidamente: calcule
. Usando regra do produto em
e em
,
Somando
nota-se que os termos com
e com
se cancelam, sobrando exatamente
, ou seja a solução satisfaz a equação original. Boa notícia: está correta.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (memorização prática):
- Identificar
na forma . - Fazer
. - Multiplicar e obter
. - Integrar e isolar
.
Força aí — com esse passo a passo você aplica a mesma receita a qualquer EDO linear de primeira ordem.