Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
\quad u^{\prime}-u=\cos t,

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
u' - u = \cos t.
Informações dadas e o que se busca:
  • A função desconhecida é u(t).
  • A derivada indicada é u'=\dfrac{du}{dt}.
  • Quer-se a solução geral, isto é, a família de todas as soluções dependente de uma constante arbitrária.

Passo 2

Classificação da equação e forma padrão:
  • A equação é linear de primeira ordem. A forma padrão de uma linear de primeira ordem é
u' + p(t)\,u = q(t).
  • Aqui temos
p(t) = -1,\qquad q(t)=\cos t.

Passo 3

Explicação do método do fator integrante (motivo e ideia):
  • Para equações da forma u' + p(t)u = q(t), o fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • A razão: multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em derivada exata, pois
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t)
e, como \mu'(t)=\mu(t)p(t), obtemos \mu u' + \mu p u, que é exatamente \mu vezes o lado esquerdo original.

Passo 4

Cálculo do fator integrante \mu(t):
  • Como p(t)=-1, temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int -1\,dt\right)=\exp(-t)=e^{-t}.

Passo 5

Multiplicar a equação por \mu(t) e reescrever como derivada:
  • Multiplicando por e^{-t} vem
e^{-t}u' - e^{-t}u = e^{-t}\cos t.
  • Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{-t}u:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)=e^{-t}\cos t.

Passo 6

Integrar ambos os lados para obter u:
  • Integramos em t:
e^{-t}u(t)=\int e^{-t}\cos t\,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Calcular a integral \displaystyle \int e^{-t}\cos t\,dt passo a passo:
  • Denote I=\int e^{-t}\cos t\,dt.
  • Faça integração por partes duas vezes. Primeira vez: escolha a=\cos t e db=e^{-t}dt. Então da=-\sin t\,dt e b=\int e^{-t}dt=-e^{-t}. Assim
I = -e^{-t}\cos t - \int (-e^{-t})(- \sin t)\,dt = -e^{-t}\cos t - \int e^{-t}\sin t\,dt.
  • Denote J=\int e^{-t}\sin t\,dt. Calcule J por partes: escolha a=\sin t, db=e^{-t}dt. Então da=\cos t\,dt e b=-e^{-t}. Assim
J = -e^{-t}\sin t - \int (-e^{-t})\cos t\,dt = -e^{-t}\sin t + \int e^{-t}\cos t\,dt = -e^{-t}\sin t + I.
  • Substitua J na expressão para I:
I = -e^{-t}\cos t - J = -e^{-t}\cos t - \big(-e^{-t}\sin t + I\big).
  • Isolando I:
I = -e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t - I \quad\Rightarrow\quad 2I = e^{-t}(\,-\cos t + \sin t\,).
  • Portanto
I = \frac{e^{-t}}{2}\big(-\cos t + \sin t\big) + C_1,
onde C_1 é constante de integração (que pode ser absorvida na constante global C do passo anterior).

Passo 8

Voltar à expressão para u(t) e simplificar:
  • Substituindo I em e^{-t}u(t)=I+C obtemos
e^{-t}u(t)=\frac{e^{-t}}{2}\big(-\cos t + \sin t\big) + C.
  • Multiplicando por e^{t},
u(t)=\frac{1}{2}\big(-\cos t + \sin t\big) + C e^{t}.
  • Reescrevendo de forma mais agradável,
u(t)=\frac{\sin t - \cos t}{2} + C e^{t},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Aqui a primeira parcela é uma solução particular e C e^{t} é a solução geral da homogênea.

Passo 9

Verificação rápida (útil para a prova):
  • Calcula-se u_p(t)=\dfrac{\sin t - \cos t}{2}. Então
u_p'(t)=\frac{\cos t + \sin t}{2}.
  • Assim
u_p'(t)-u_p(t)=\frac{\cos t + \sin t}{2}-\frac{\sin t - \cos t}{2}=\cos t,
confirmando que u_p é uma particular válida. A solução geral é a soma da particular com C e^{t}.

Resposta

u(t)=\dfrac{\sin t - \cos t}{2} + C e^{t}

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