Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas e o que se busca:
- A função desconhecida é
. - A derivada indicada é
. - Quer-se a solução geral, isto é, a família de todas as soluções dependente de uma constante arbitrária.
Passo 2
Classificação da equação e forma padrão:
- A equação é linear de primeira ordem. A forma padrão de uma linear de primeira ordem é
- Aqui temos
Passo 3
Explicação do método do fator integrante (motivo e ideia):
- Para equações da forma
, o fator integrante é definido por
- A razão: multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em derivada exata, pois
e, como
, obtemos
, que é exatamente
vezes o lado esquerdo original.
Passo 4
Cálculo do fator integrante
:
- Como
, temos
Passo 5
Multiplicar a equação por
e reescrever como derivada:
- Multiplicando por
vem
- Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter
:
- Integramos em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calcular a integral
passo a passo:
- Denote
. - Faça integração por partes duas vezes. Primeira vez: escolha
e . Então e . Assim
- Denote
. Calcule por partes: escolha , . Então e . Assim
- Substitua
na expressão para :
- Isolando
:
- Portanto
onde
é constante de integração (que pode ser absorvida na constante global
do passo anterior).
Passo 8
Voltar à expressão para
e simplificar:
- Substituindo
em obtemos
- Multiplicando por
,
- Reescrevendo de forma mais agradável,
onde
é a constante arbitrária. Aqui a primeira parcela é uma solução particular e
é a solução geral da homogênea.
Passo 9
Verificação rápida (útil para a prova):
- Calcula-se
. Então
- Assim
confirmando que
é uma particular válida. A solução geral é a soma da particular com
.