Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral. Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação envolve a derivada primeira
. - Há um fator
multiplicando ; portanto não se pode dividir por sem observar o caso . A solução será válida em intervalos onde (tipicamente ou ).
O que se pede: encontrar a família de soluçõesque satisfazem a equação para .
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de primeira ordem (coeficiente de
igual a 1). Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Aqui estamos no formato
com
e
.
Nota: há que lembrar que toda manipulação que divide por exige trabalhar em um intervalo onde
não muda de sinal (por exemplo
ou
).
Nota: há que lembrar que toda manipulação que divide por
Passo 3
Apresentar o método que vamos usar (integração por fator integrante), explicado passo a passo.
- Para uma EDO linear de primeira ordem
, define-se o fator integrante
- A razão desse fator é que
. Assim multiplicando a equação por transformamos o lado esquerdo num derivado total, que facilita a integração. - Após multiplicar por
integramos: . Finalmente .
Isto é a fórmula geral do método; agora aplicamos ao nosso caso.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nossa
.
Temos . Então
Temos
Para trabalhar de forma prática em um intervalo com
podemos usar
. Em um intervalo com
podemos também usar
porque
. Assim fica simples escrever
(lembrando que
).
Passo 5
Multiplicar a EDO em forma padrão por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Verificação:
Portanto a equação vira
Passo 6
Integrar ambos os lados em
. Tomando antiderivadas:
onde
é constante de integração. Para evitar ambiguidade no símbolo de integração indefinida convém usar uma variável de integração distinta; escrevendo de forma clara:
Aqui a integral
representa uma antiderivada (dependente de
); a constante
absorve qualquer constante independente do limite inferior escolhido.
Passo 7
Isolar
. Multiplicando por
:
Esta é a solução geral em termos de uma integral (forma aceita pelo enunciado). Explicando o que significa cada termo:
-
é a constante arbitrária da família de soluções. - A integral
é uma primitiva de ; não tem primitiva elementar simples totalmente em termos de funções elementares, por isso deixamos como integral.
Passo 8
Opcional — expressar a integral usando integração por partes e a função especial Ei (caso queira uma forma mais explícita).
Fazendo integração por partes em : tomar
como
e
como
. Obtém-se
Fazendo integração por partes em
A integral
é a função exponencial integral indefinida, denotada por
. Assim uma forma alternativa da solução é
valendo atenção aos domínios e ao significado da função
(que é comumente usada para representar
com uma escolha de limite de integração).
Passo 9
Checar rapidamente que a forma com integral satisfaz a EDO (sanity check):
- Se
, calcule . - Diferenciando:
, que é exatamente a etapa obtida em