Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
t u^{\prime}-2 u=t e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
t\,u'(t)-2\,u(t)=t\,e^{t}
e pede a solução geral. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a derivada primeira u'(t).
  • Há um fator t multiplicando u'(t); portanto não se pode dividir por t sem observar o caso t=0. A solução será válida em intervalos onde t\neq0 (tipicamente t>0 ou t<0).
    O que se pede: encontrar a família de soluções u(t) que satisfazem a equação para t\neq0.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de primeira ordem (coeficiente de u' igual a 1). Dividindo ambos os lados por t (assumindo t\neq0):
u'(t)-\frac{2}{t}\,u(t)=e^{t}.
Aqui estamos no formato
u'(t)+p(t)\,u(t)=q(t),
com p(t)=-\dfrac{2}{t} e q(t)=e^{t}.
Nota: há que lembrar que toda manipulação que divide por t exige trabalhar em um intervalo onde t não muda de sinal (por exemplo t>0 ou t<0).

Passo 3

Apresentar o método que vamos usar (integração por fator integrante), explicado passo a passo.
  • Para uma EDO linear de primeira ordem u'+p(t)u=q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • A razão desse fator é que \mu(t)\bigl(u'(t)+p(t)u(t)\bigr)=(\mu(t)u(t))'. Assim multiplicando a equação por \mu transformamos o lado esquerdo num derivado total, que facilita a integração.
  • Após multiplicar por \mu integramos: (\mu u)'=\mu q \Rightarrow \mu u=\int \mu q\,dt + C. Finalmente u=(1/\mu)\bigl(\int \mu q\,dt + C\bigr).
    Isto é a fórmula geral do método; agora aplicamos ao nosso caso.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nossa p(t).
Temos p(t)=-\dfrac{2}{t}. Então
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{t}\,dt\right)=\exp\!\left(-2\ln|t|\right)=|t|^{-2}.
Para trabalhar de forma prática em um intervalo com t>0 podemos usar \mu(t)=t^{-2}. Em um intervalo com t<0 podemos também usar \mu(t)=t^{-2} porque t^{-2}=|t|^{-2}. Assim fica simples escrever \mu(t)=t^{-2} (lembrando que t\neq0).

Passo 5

Multiplicar a EDO em forma padrão por \mu(t)=t^{-2}:
t^{-2}u'(t)-2t^{-3}u(t)=t^{-2}e^{t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de (t^{-2}u(t)). Verificação:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}u(t)\bigr)=t^{-2}u'(t)+(-2t^{-3})u(t)=t^{-2}u'(t)-2t^{-3}u(t).
Portanto a equação vira
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}u(t)\bigr)=t^{-2}e^{t}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em t. Tomando antiderivadas:
t^{-2}u(t)=\int t^{-2}e^{t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Para evitar ambiguidade no símbolo de integração indefinida convém usar uma variável de integração distinta; escrevendo de forma clara:
t^{-2}u(t)=\int^{t} s^{-2}e^{s}\,ds + C.
Aqui a integral \displaystyle\int^{t} s^{-2}e^{s}\,ds representa uma antiderivada (dependente de t); a constante C absorve qualquer constante independente do limite inferior escolhido.

Passo 7

Isolar u(t). Multiplicando por t^{2}:
u(t)=t^{2}\left(C+\int^{t} s^{-2}e^{s}\,ds\right).
Esta é a solução geral em termos de uma integral (forma aceita pelo enunciado). Explicando o que significa cada termo:
  • C é a constante arbitrária da família de soluções.
  • A integral \displaystyle\int^{t} s^{-2}e^{s}\,ds é uma primitiva de s^{-2}e^{s}; não tem primitiva elementar simples totalmente em termos de funções elementares, por isso deixamos como integral.

Passo 8

Opcional — expressar a integral usando integração por partes e a função especial Ei (caso queira uma forma mais explícita).
Fazendo integração por partes em \displaystyle\int s^{-2}e^{s}\,ds: tomar e^{s} como u e s^{-2}ds como dv. Obtém-se
\int s^{-2}e^{s}\,ds=-\frac{e^{s}}{s}+\int\frac{e^{s}}{s}\,ds.
A integral \displaystyle\int \frac{e^{s}}{s}\,ds é a função exponencial integral indefinida, denotada por \operatorname{Ei}(s). Assim uma forma alternativa da solução é
u(t)=C\,t^{2}-t e^{t}+t^{2}\operatorname{Ei}(t),
valendo atenção aos domínios e ao significado da função \operatorname{Ei} (que é comumente usada para representar \displaystyle\int^{t}\frac{e^{s}}{s}\,ds com uma escolha de limite de integração).

Passo 9

Checar rapidamente que a forma com integral satisfaz a EDO (sanity check):
  • Se u(t)=t^{2}\bigl(C+\int^{t}s^{-2}e^{s}\,ds\bigr), calcule t^{-2}u(t)=C+\int^{t}s^{-2}e^{s}\,ds.
  • Diferenciando: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{-2}u(t)\bigr)=t^{-2}e^{t}, que é exatamente a etapa obtida em

Resposta

u(t)=t^{2}\left(C+\int^{t}s^{-2}e^{s}\,ds\right)

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