Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial e pede a solução geral para
:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem envolvendo
e . - O termo não homogêneo é
. - O domínio é
.
A pergunta: encontrar a solução geralválida para .
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação numa forma padrão de primeira ordem, isolando
. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
):
Aqui já vemos uma equação linear de primeira ordem no formato
com
Passo 3
Vou explicar a ideia do método que vamos usar (integrating factor), passo a passo e sem pular etapas. Para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
por
A razão é que multiplicando a equação por
obtemos pelo produto derivada:
Isso transforma o lado esquerdo numa derivada exata, permitindo integração direta. Agora aplicamos isso ao caso concreto.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
então
Como constantes multiplicativas em
não afetam o procedimento, podemos tomar
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. A equação original (já dividida) era
Multiplicando por
:
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
(Se quiser verificar: usar regra do produto e a derivada de
, que é
, recupera exatamente o lado esquerdo original.)
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, fazemos a substituição natural
Daí
e a integral transforma-se em uma integral em
:
Passo 7
Precisamos calcular a integral
Vamos fazer por partes duas vezes (método padrão). Seja
Aplicando integração por partes com
,
dá
,
, então
Chame a outra integral de
Fazendo integração por partes em
com
,
(assim
,
) obtemos
Substituindo essa expressão de
na expressão anterior para
:
Isolando
:
Logo
Passo 8
Voltando à integral que tínhamos (com o fator
):
Isso pode ser reescrito como
Portanto a expressão para
fica
lembrando que
. Substituindo
de volta:
Passo 9
Por fim, dividimos por
(que é positivo para todo
) para obter
:
onde
é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral válida para
.