Encontre a solução geral para as EDO’s que seguem. Em alguns problemas será necessário deixar a resposta em termos de integrais.
t^{2} u^{\prime}-u=2 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{t}\right), t>0.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial e pede a solução geral para t>0:
t^{2}u'(t)-u(t)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right),\quad t>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem envolvendo u'(t) e u(t).
  • O termo não homogêneo é 2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{t}\right).
  • O domínio é t>0.
    A pergunta: encontrar a solução geral u(t) válida para t>0.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação numa forma padrão de primeira ordem, isolando u'(t). Dividindo ambos os lados por t^{2} (válido porque t>0):
u'(t)-\frac{1}{t^{2}}u(t)=\frac{2}{t^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right).
Aqui já vemos uma equação linear de primeira ordem no formato
u'(t)+p(t)u(t)=q(t)
com
p(t)=-\frac{1}{t^{2}},\qquad q(t)=\frac{2}{t^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right).

Passo 3

Vou explicar a ideia do método que vamos usar (integrating factor), passo a passo e sem pular etapas. Para uma equação linear de primeira ordem
u'(t)+p(t)u(t)=q(t),
define-se o fator integrante \mu(t) por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
A razão é que multiplicando a equação por \mu(t) obtemos pelo produto derivada:
\big(\mu(t)u(t)\big)'=\mu(t)q(t).
Isso transforma o lado esquerdo numa derivada exata, permitindo integração direta. Agora aplicamos isso ao caso concreto.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
p(t)=-\frac{1}{t^{2}},
então
\int p(t)\,dt=\int -\frac{1}{t^{2}}\,dt=\int -t^{-2}\,dt= t^{-1}+C=\frac{1}{t}+C.
Como constantes multiplicativas em \mu não afetam o procedimento, podemos tomar
\mu(t)=\exp\!\left(\frac{1}{t}\right)=e^{1/t}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=e^{1/t}. A equação original (já dividida) era
u'(t)-\frac{1}{t^{2}}u(t)=\frac{2}{t^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right).
Multiplicando por e^{1/t}:
e^{1/t}u'(t)-\frac{1}{t^{2}}e^{1/t}u(t)=\frac{2}{t^{2}}e^{1/t}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right).
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{1/t}u(t)\big)'= \frac{2}{t^{2}}e^{1/t}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right).
(Se quiser verificar: usar regra do produto e a derivada de e^{1/t}, que é e^{1/t}\cdot(-1/t^{2}), recupera exatamente o lado esquerdo original.)

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^{1/t}u(t)=\int \frac{2}{t^{2}}e^{1/t}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular a integral do lado direito, fazemos a substituição natural
s=\frac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad ds=-\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Daí
\frac{1}{t^{2}}\,dt=-ds,
e a integral transforma-se em uma integral em s:
\int \frac{2}{t^{2}}e^{1/t}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right)\,dt = \int 2 e^{s}\operatorname{sen}(s)\cdot(-ds) = -2\int e^{s}\operatorname{sen}(s)\,ds.

Passo 7

Precisamos calcular a integral
I=\int e^{s}\operatorname{sen}(s)\,ds.
Vamos fazer por partes duas vezes (método padrão). Seja
I=\int e^{s}\operatorname{sen}(s)\,ds.
Aplicando integração por partes com u=\operatorname{sen}(s), dv=e^{s}ds du=\cos(s)ds, v=e^{s}, então
I=e^{s}\operatorname{sen}(s)-\int e^{s}\cos(s)\,ds.
Chame a outra integral de
J=\int e^{s}\cos(s)\,ds.
Fazendo integração por partes em J com u=\cos(s), dv=e^{s}ds (assim du=-\operatorname{sen}(s)ds, v=e^{s}) obtemos
J=e^{s}\cos(s)+\int e^{s}\operatorname{sen}(s)\,ds = e^{s}\cos(s)+I.
Substituindo essa expressão de J na expressão anterior para I:
I=e^{s}\operatorname{sen}(s)-J = e^{s}\operatorname{sen}(s)-\big(e^{s}\cos(s)+I\big).
Isolando I:
I = e^{s}\operatorname{sen}(s)-e^{s}\cos(s)-I \quad\Rightarrow\quad 2I = e^{s}\big(\operatorname{sen}(s)-\cos(s)\big).
Logo
I=\frac{1}{2}e^{s}\big(\operatorname{sen}(s)-\cos(s)\big).

Passo 8

Voltando à integral que tínhamos (com o fator -2):
-2\int e^{s}\operatorname{sen}(s)\,ds = -2I = -2\cdot\frac{1}{2}e^{s}\big(\operatorname{sen}(s)-\cos(s)\big) = -e^{s}\big(\operatorname{sen}(s)-\cos(s)\big).
Isso pode ser reescrito como
-e^{s}\big(\operatorname{sen}(s)-\cos(s)\big)=e^{s}\big(\cos(s)-\operatorname{sen}(s)\big).
Portanto a expressão para e^{1/t}u(t) fica
e^{1/t}u(t)=e^{s}\big(\cos(s)-\operatorname{sen}(s)\big)+C,
lembrando que s=\dfrac{1}{t}. Substituindo s de volta:
e^{1/t}u(t)=e^{1/t}\big(\cos\!\left(\tfrac{1}{t}\right)-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{t}\right)\big)+C.

Passo 9

Por fim, dividimos por e^{1/t} (que é positivo para todo t) para obter u(t):
u(t)=\cos\!\left(\frac{1}{t}\right)-\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{t}\right)+C e^{-1/t},
onde C é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral válida para t>0.

Resposta

u(t)=\cos\!\left(\dfrac{1}{t}\right)-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{t}\right)+C\,e^{-1/t}

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