Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação para todo
(solução do PVI) e que atende a condição inicial
.
Passo 2
Escolha do método: como a equação é linear de coeficientes constantes e simples, o método mais direto é decompor a solução em soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular:
Este método é eficiente aqui porque a equação homogênea é trivial de resolver e uma solução particular constante é fácil de tentar. (Alternativamente poderia-se usar fator integrante; ambos dão o mesmo resultado.)
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada. A equação homogênea é
Isto é uma equação separável; escrevendo
e integrando:
logo exponenciando,
onde
é constante arbitrária (aqui
). Em palavras: a solução homogênea é uma exponencial com taxa
.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
. Como o termo não-homogêneo é a constante
, tentamos uma solução particular constante
, com
constante. Substituindo na equação original:
pois
. Assim
Portanto uma solução particular é
.
Passo 5
Escrever a solução geral da equação não-homogênea como soma das partes:
onde
é uma constante a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isolando
:
Passo 7
Substituir
na solução geral para obter a solução única do PVI: