Encontre as soluções dos seguintes PVIs
u^{\prime}=2 u-1, \quad u(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial:
u'(t)=2u(t)-1,\qquad u(0)=2.
O que se pede: encontrar a função u(t) que satisfaz a equação para todo t (solução do PVI) e que atende a condição inicial u(0)=2.

Passo 2

Escolha do método: como a equação é linear de coeficientes constantes e simples, o método mais direto é decompor a solução em soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular:
u(t)=u_h(t)+u_p(t).
Este método é eficiente aqui porque a equação homogênea é trivial de resolver e uma solução particular constante é fácil de tentar. (Alternativamente poderia-se usar fator integrante; ambos dão o mesmo resultado.)

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A equação homogênea é
u_h'(t)=2u_h(t).
Isto é uma equação separável; escrevendo \dfrac{u_h'}{u_h}=2 e integrando:
\int \frac{u_h'}{u_h}\,dt=\int 2\,dt
\ln|u_h(t)|=2t+C_1,
logo exponenciando,
u_h(t)=C e^{2t},
onde C é constante arbitrária (aqui C=e^{C_1}). Em palavras: a solução homogênea é uma exponencial com taxa 2.

Passo 4

Encontrar uma solução particular u_p(t). Como o termo não-homogêneo é a constante -1, tentamos uma solução particular constante u_p(t)=A, com A constante. Substituindo na equação original:
0=2A-1,
pois u_p'=0. Assim
A=\tfrac{1}{2}.
Portanto uma solução particular é u_p(t)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Escrever a solução geral da equação não-homogênea como soma das partes:
u(t)=u_p(t)+u_h(t)=\tfrac{1}{2}+C e^{2t},
onde C é uma constante a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial u(0)=2. Substituindo t=0 na solução geral:
2=\tfrac{1}{2}+C e^{0}=\tfrac{1}{2}+C.
Isolando C:
C=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Substituir C=\tfrac{3}{2} na solução geral para obter a solução única do PVI:
u(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{2t}.

Resposta

u(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{2t}

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