Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
no intervalo
.
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - O domínio considerado é
.
Passo 2
Transformar a equação para uma forma padrão de primeira ordem. Sempre que possível é conveniente escrever a equação na forma linear
Aqui podemos escrever a equação dividindo por
(ou, mais diretamente, observando que
, válido quando
; no intervalo
temos
, então
é bem definida). Assim obtemos a forma
Colocando em forma linear:
Passo 3
Explicar o método de fator integrante (integrating factor). Para uma EDO linear
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtém-se
, que integra facilmente.
No nosso caso temos
. Então o fator integrante é
Calcule a integral:
portanto
No intervalo
temos
, então podemos remover o valor absoluto e obter
Passo 4
Multiplicar a equação linear por
. Assim
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. A integral do lado direito é
Fazer a substituição
dá
, logo
Portanto
Passo 6
Isolar
. Multiplicando por
obtemos a solução geral:
onde
é constante arbitrária. Verificação rápida:
e
, logo
, checando a equação para
em que as operações são válidas.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Como
, substituindo na solução geral:
logo
.
Passo 8
Concluir a solução particular que satisfaz a condição inicial. Substituindo
na solução geral:
Esta função está definida e satisfaz a equação diferencial para
(e toma o valor
em
, conforme a condição inicial).