Encontre as soluções dos seguintes PVIs
u^{\prime} \tan t=u+1, u(\pi / 2)=0,0<t<\pi

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a solução do problema de valor inicial (PVI)
u'(t)\tan t = u(t)+1,\qquad u\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
no intervalo 0<t<\pi.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \;u'(t)\tan t = u(t)+1\;.
  • A condição inicial é \;u\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\;.
  • O domínio considerado é 0<t<\pi.

Passo 2

Transformar a equação para uma forma padrão de primeira ordem. Sempre que possível é conveniente escrever a equação na forma linear
u'(t)+p(t)u(t)=q(t).
Aqui podemos escrever a equação dividindo por \tan t (ou, mais diretamente, observando que 1/\tan t=\cot t, válido quando \sin t\neq0; no intervalo 0<t<\pi temos \sin t>0, então \cot t é bem definida). Assim obtemos a forma
u'(t) = (u(t)+1)\cot t.
Colocando em forma linear:
u'(t) - \cot t\;u(t) = \cot t.

Passo 3

Explicar o método de fator integrante (integrating factor). Para uma EDO linear
u'(t)+p(t)u(t)=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtém-se (\mu(t)u(t))'=\mu(t)q(t), que integra facilmente.
No nosso caso temos p(t)=-\cot t. Então o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\cot t\,dt\right).
Calcule a integral:
\int \cot t\,dt = \ln|\sin t|,
portanto
\int -\cot t\,dt = -\ln|\sin t| = \ln\!\big(|\sin t|^{-1}\big).
No intervalo 0<t<\pi temos \sin t>0, então podemos remover o valor absoluto e obter
\mu(t)=\frac{1}{\sin t}.

Passo 4

Multiplicar a equação linear por \mu(t)=1/\sin t. Assim
\frac{1}{\sin t}\big(u'(t)-\cot t\,u(t)\big)=\frac{1}{\sin t}\cot t.
O lado esquerdo é a derivada do produto (\mu u):
\left(\frac{u(t)}{\sin t}\right)' = \frac{\cos t}{\sin^2 t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. A integral do lado direito é
\int \frac{\cos t}{\sin^2 t}\,dt.
Fazer a substituição w=\sin t dw=\cos t\,dt, logo
\int \frac{\cos t}{\sin^2 t}\,dt = \int \frac{1}{w^2}\,dw = -\frac{1}{w}+C = -\frac{1}{\sin t}+C.
Portanto
\frac{u(t)}{\sin t} = -\frac{1}{\sin t} + C.

Passo 6

Isolar u(t). Multiplicando por \sin t obtemos a solução geral:
u(t) = -1 + C\sin t,
onde C é constante arbitrária. Verificação rápida: u'(t)=C\cos t e u(t)+1=C\sin t, logo u'(t)\tan t=C\cos t\tan t=C\sin t=u(t)+1, checando a equação para t em que as operações são válidas.

Passo 7

Aplicar a condição inicial \;u\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Como \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, substituindo na solução geral:
0 = u\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 + C\cdot 1,
logo C=1.

Passo 8

Concluir a solução particular que satisfaz a condição inicial. Substituindo C=1 na solução geral:
u(t) = -1 + \sin t.
Esta função está definida e satisfaz a equação diferencial para 0<t<\pi (e toma o valor 0 em t=\pi/2, conforme a condição inicial).

Resposta

u(t)=\sin t-1,\quad 0<t<\pi

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