Encontre a solução geral das EDOs.
4 x^2 y^prime prime+5 y=0

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução geral da EDO
4x^2y'' + 5y = 0
Esse tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, e a gente vai usar a hipótese de que a solução é da forma y = x^r.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por 4x^2 para deixá-la em forma padrão:
y'' + 54x^2,y = 0

Passo 3

Na equação de Euler–Cauchy, a gente supõe y = x^r. Então
y = x^r, y' = r x^r-1, y'' = r(r-1)x^r-2
Substituindo em 4x^2y'' + 5y = 0 dá a equação característica.

Passo 4

Substituindo y'' e y na equação original:
$$
4x2\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
;
4r(r-1)x^r + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
4r(r-1) + 5 = 0.
$$
Essa é a equação para 4x^2l[r(r-1)x^r-2r] + 5x^r = 0 ; Longrightarrow ; 4r(r-1)x^r + 5x^r = 0 ; Longrightarrow 4r(r-1) + 5 = 0 .

Passo 5

Resolvendo
4r^2 - 4r + 5 = 0
o discriminante é De, ou seja, raízes complexas
r = 4 pm raiz-648 = 4 pm 8i8 = 12 pm i
Logo alpha = 1/2 e beta = 1.

Passo 6

Quando as raízes são complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = x^alpha l(C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x)r)
Substituindo alpha=1/2 e beta=1 chegamos à solução geral.

Resposta

A solução geral é y(x) = x^tfrac12l(C1cos(ln x) + C2sin(ln x)r).

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