Encontre a solução geral das EDOs.
Passo 1
A questão pede para encontrar a solução geral da EDO
Esse tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, e a gente vai usar a hipótese de que a solução é da forma
Passo 2
Primeiro, dividimos toda a equação por
para deixá-la em forma padrão:
Passo 3
Na equação de Euler–Cauchy, a gente supõe
. Então
Substituindo em
dá a equação característica.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
$$
4x2\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
;
4r(r-1)x^r + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
4x2\bigl[r(r-1)x{r-2}\bigr] + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
;
4r(r-1)x^r + 5x^r = 0
;
\Longrightarrow
4r(r-1) + 5 = 0.
$$
Essa é a equação para .
Essa é a equação para
Passo 5
Resolvendo
o discriminante é
, ou seja, raízes complexas
Logo
e
.
Passo 6
Quando as raízes são complexas
, a solução geral é
Substituindo
e
chegamos à solução geral.
Resposta
A solução geral é
.