gamma Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Encontre f sabendo que f(1)=0 e f^prime(1)=0 e
f^prime prime(x)=3x^2+2 cos (pi x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função $ f(x) $ sabendo que:
  • $ f(1) = 0 $
  • $ f’(1) = 0 $
  • E a segunda derivada $ f’’(x) = \frac{3}{x^{2}} + 2 \cos (\pi x) $
Conteúdo da matéria: Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a ideia de integrais para encontrar a função original a partir das suas derivadas. Precisamos integrar a segunda derivada para achar a primeira derivada $ f’(x) $ e depois integrar novamente para encontrar $ f(x) $. Além disso, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar $ f’’(x) $ para encontrar $ f’(x) $.
Temos:
f''(x)
Integrando termo a termo:
f'(x)
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Para $ \int \frac{3}{x^{2}} , dx $:
f''(x) = 3x^2 + 2 cos (pi x)
Para $ \int 2 \cos (\pi x) , dx $:
f'(x) = integral f''(x) , dx = integral 3x^2 , dx + integral 2 cos (pi x) , dx
Unindo tudo:
integral 3x^2 , dx
Onde $ C = C_1 + C_2 $ é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $.
Temos:
f'(x)
Integrando termo a termo:
f(x)
Resolvendo cada integral:
Para $ \int -\frac{3}{x} , dx $:
f'(x) = -3x + 2pi sin(pi x) + C
Para $ \int \frac{2}{\pi} \sin(\pi x) , dx $:
f(x) = integral f'(x) , dx = integral ( -3x ) dx + integral 2pi sin(pi x) , dx + integral C , dx
Para $ \int C , dx $:
integral -3x , dx
Unindo tudo:
-3 integral 1x , dx = -3 ln|x| + C1
Onde $ D = C_1 + C_2 + C_3 $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes $ C $ e $ D $.
Sabemos que:
C
Primeiro, vamos usar $ f’(1) = 0 $:
D
Simplificando:
f(1) = 0 e f'(1) = 0
f'(1) = 0
Agora, vamos usar $ f(1) = 0 $:
f'(1) = -31 + 2pi sin(pi cdot 1) + C = 0
Simplificando:
-3 + 2pi sin(pi) + C = 0
sin(pi) = 0 Rightarrow -3 + 0 + C = 0 Rightarrow C = 3
f(1) = 0
f(1) = -3 ln|1| - 2pi^2 cos(pi cdot 1) + 3 cdot 1 + D = 0

Resposta

Portanto, a função $ f(x) $ é:
f(x)
Ou, simplificando:
f(x) = -3 ln|x| - 2pi^2 cos(pi x) + 3 x - ( 2pi^2 + 3 )

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