Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
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sabendo que
e
e
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função $ f(x) $ sabendo que:
- $ f(1) = 0 $
- $ f’(1) = 0 $
- E a segunda derivada $ f’’(x) = \frac{3}{x^{2}} + 2 \cos (\pi x) $
Conteúdo da matéria: Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a ideia de integrais para encontrar a função original a partir das suas derivadas. Precisamos integrar a segunda derivada para achar a primeira derivada $ f’(x) $ e depois integrar novamente para encontrar $ f(x) $. Além disso, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar $ f’’(x) $ para encontrar $ f’(x) $.
Temos:
Integrando termo a termo:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Para $ \int \frac{3}{x^{2}} , dx $:
Para $ \int 2 \cos (\pi x) , dx $:
Unindo tudo:
Onde $ C = C_1 + C_2 $ é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $.
Temos:
Integrando termo a termo:
Resolvendo cada integral:
Para $ \int -\frac{3}{x} , dx $:
Para $ \int \frac{2}{\pi} \sin(\pi x) , dx $:
Para $ \int C , dx $:
Unindo tudo:
Onde $ D = C_1 + C_2 + C_3 $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes $ C $ e $ D $.
Sabemos que:
Primeiro, vamos usar $ f’(1) = 0 $:
Simplificando:
Agora, vamos usar $ f(1) = 0 $:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a função $ f(x) $ é:
Ou, simplificando: