Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que t +infty da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
(a) y^prime prime+16 y=0; y(0)=2, y^prime(0)=0
(b) y^prime prime+100 y^prime+y=0; y(0)=1, y^prime(0)=0
(c) y^prime prime+6 y^prime+8 y=0; y(0)=1, y^prime(0)=0
(d) y^prime prime+2 y^prime-3 y=0; y(0)=-2, y^prime(0)=0
(e) y^prime prime-y^prime-6 y=0; y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Temos cinco EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes que modelam sistemas massa-mola (possivelmente com amortecimento). Para cada uma precisamos:
1. Usar a analogia massa-mola (amortecimento nulo, fraco, forte ou instável) e a equação característica para prever o comportamento quando tto+infty.
2. Resolver de fato o PVI, achar a solução y(t) e confirmar o limite.

Passo 2

A estratégia geral é escrever a equação característica
r^2 + a,r + b = 0,
onde a é o coeficiente de y' e b o de y. As raízes r determinam:
  • Se a=0 e b>0, temos oscilações puras ( r=pm iomega).
  • Se a>0, podemos ter raízes reais negativas (amortecimento forte), ou pares complexos com parte real negativa (amortecimento fraco): ambos decaem para zero.
  • Se existe raiz positiva, o sistema é instável e cresce exponencialmente.
Aplicando a cada caso:
(a) r^2+16=0 Rightarrow r=pm4i Rightarrow oscilação pura (sem decaimento).
(b) r^2+100r+1=0 Rightarrow duas raízes reais e negativas Rightarrow decaimento para zero (amortecimento muito forte).
(c) r^2+6r+8=0 Rightarrow raízes -2, -4 Rightarrow decaimento exponencial rápido para zero.
(d) r^2+2r-3=0 Rightarrow raízes 1, -3 Rightarrow há uma raiz positiva Rightarrow instável (crescimento exponencial).
(e) r^2 - r -6=0 Rightarrow raízes 3, -2 Rightarrow raiz positiva Rightarrow instável (crescimento exponencial).

Passo 3

(a) Equação característica
r^2+16=0implies r=pm4i
Solução geral
y(t)=C1cos(4t)+C2sin(4t)
Condições y(0)=2, y'(0)=0 dão
C1=2, y'(t)=-4C1sin(4t)+4C2cos(4t)implies y'(0)=4C2=0implies C2=0
Logo
y(t)=2cos(4t),
que oscila perpetuamente e não converge quando tto+infty.

Passo 4

(b) Característica
r^2+100r+1=0, r1,2=-100pmraiz10000-42=-50pmraiz2499
Ambas são negativas. Solução geral
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t
Condições y(0)=1, y'(0)=0 dão
C1+C2=1, C1r1+C2r2=0 ;Longrightarrow; C1=r2r2-r1,; C2=-r1r2-r1
Então
y(t)=r2e^r1t-r1e^r2tr2-r1,
e como r1,r2<0, temos y(t)to0 quando tto+infty.

Passo 5

(c) Característica
r^2+6r+8=0implies r=-2,,-4
Solução geral
y(t)=C1e^-2t+C2e^-4t
Condições y(0)=1, y'(0)=0 levam a
C1+C2=1, -2C1-4C2=0 ;Longrightarrow; C1=2,;C2=-1
Logo
y(t)=2e^-2t-e^-4tto0 (tto+infty)

Passo 6

(d) Característica
r^2+2r-3=0implies r=1,,-3
Solução geral
y(t)=C1e^t+C2e^-3t
Condições y(0)=-2, y'(0)=0 dão
C1+C2=-2, C1-3C2=0 ;Longrightarrow; C1=-tfrac32,;C2=-tfrac12
Assim
y(t)=-tfrac32e^t-tfrac12e^-3tsim -tfrac32e^tto-infty,
confirmando instabilidade (crescimento exponencial de módulo crescente).

Passo 7

(e) Característica
r^2-r-6=0implies r=3,,-2
Solução geral
y(t)=C1e^3t+C2e^-2t,
com y(0)=1, y'(0)=1 dando
C1+C2=1, 3C1-2C2=1 ;Longrightarrow; C1=tfrac35,;C2=tfrac25
Logo
y(t)=tfrac35e^3t+tfrac25e^-2tsim tfrac35e^3tto+infty,
confirmando instabilidade.

Resposta

(a) y(t)=2cos(4t), oscila sem convergir.
(b) y(t)=dfracr2e^r1t-r1e^r2tr2-r1 com r1,2=-50pmraiz2499, decai para 0.
(c) y(t)=2e^-2t-e^-4t, decai para 0.
(d) y(t)=-tfrac32e^t-tfrac12e^-3t, diverge (cresce exponencialmente em módulo).
(e) y(t)=tfrac35e^3t+tfrac25e^-2t, diverge (cresce exponencialmente).

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