Usando a analogia do tipo massa-mola, preveja o comportamento à medida que
da solução para o problema de valor inicial indicado. Depois, confirme sua previsão resolvendo de fato o problema.
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
,
(e)
;
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Temos cinco EDOs lineares de
ª ordem com coeficientes constantes que modelam sistemas massa-mola (possivelmente com amortecimento). Para cada uma precisamos:
Passo 2
A estratégia geral é escrever a equação característica
onde
é o coeficiente de
e
o de
. As raízes
determinam:
- Se
e , temos oscilações puras ( ). - Se
, podemos ter raízes reais negativas (amortecimento forte), ou pares complexos com parte real negativa (amortecimento fraco): ambos decaem para zero. - Se existe raiz positiva, o sistema é instável e cresce exponencialmente.
Aplicando a cada caso:
(a)
oscilação pura (sem decaimento).
(b) duas raízes reais e negativas
decaimento para zero (amortecimento muito forte).
(c) raízes
,
decaimento exponencial rápido para zero.
(d) raízes
,
há uma raiz positiva
instável (crescimento exponencial).
(e) raízes
,
raiz positiva
instável (crescimento exponencial).
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 3
(a) Equação característica
Solução geral
Condições
,
dão
Logo
que oscila perpetuamente e não converge quando
.
Passo 4
(b) Característica
Ambas são negativas. Solução geral
Condições
,
dão
Então
e como
, temos
quando
.
Passo 5
(c) Característica
Solução geral
Condições
,
levam a
Logo
Passo 6
(d) Característica
Solução geral
Condições
,
dão
Assim
confirmando instabilidade (crescimento exponencial de módulo crescente).
Passo 7
(e) Característica
Solução geral
com
,
dando
Logo
confirmando instabilidade.
Resposta
(a)
, oscila sem convergir.
(b) com
, decai para
.
(c) , decai para
.
(d) , diverge (cresce exponencialmente em módulo).
(e) , diverge (cresce exponencialmente).
(b)
(c)
(d)
(e)