Resolva o problema de valor inicial dado: y^prime prime+2 y^prime+2 y=0; y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes:
y'' + 2y' + 2y = 0
e condições iniciais y(0)=2, y'(0)=1. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y(t)=e^rt:
r^2 + 2r + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot22 = -2 pm raiz-42 = -1pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1pm i, a solução geral é
y(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Derivando para aplicar y'(0)=1, usamos a regra do produto:
y'(t) = -e^-t(Acos t + Bsin t) + e^-t(-Asin t + Bcos t) = e^-tl[(B - A)cos t - (A + B)sin tr]

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
  1. De y(0)=2 vem
y(0)=e^0(Acos0 + Bsin0)=A=2
  1. De y'(0)=1 vem
y'(0)=e^0l[(B - A)cos0 - (A + B)sin0r]=B - A=1 Longrightarrow B=1+A=3

Resposta

boxedy(t) = e^-tl(2cos t + 3sin tr)

Exercícios relacionados