Resolva o problema de valor inicial dado: y^prime prime-2 y^prime+2 y=0; y(pi)=e^pi, y^prime(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0
sujeita às condições iniciais em x=pi:
y(pi)=e^pi, y'(pi)=0
O conteúdo envolve encontrar a equação característica, obter a solução geral e ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 2 = 0
Resolvendo-a com a fórmula de Bhaskara,
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot22 = 2 pm raiz4 - 82 = 1 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas r = 1pm i, a solução geral da ODE é
y(x) = e^xl(Ccos x + Dsin xr),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y'(x) usando a regra do produto:
y'(x) = ddxl[e^x(Ccos x + Dsin x)r] = e^x(Ccos x + Dsin x)+e^x(-Csin x + Dcos x)
y'(x) = e^xl[(C+D)cos x + (D-C)sin xr]

Passo 5

Impondo y(pi)=e^pi:
y(pi)=e^pil(Ccospi + Dsinpir) = e^pi(-C) = e^pi Longrightarrow C=-1
E impondo y'(pi)=0:
y'(pi)=e^pil[(C+D)cospi + (D-C)sinpir] = e^pi[-(C+D)] = 0 Longrightarrow C+D=0 ;Longrightarrow;D=1

Passo 6

Substituindo C=-1 e D=1 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x)=e^xl(-cos x + sin xr)

Resposta

y(x)=e^xl(sin x - cos xr)

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