Encontre uma solução geral para a equação dada: y^prime prime+10 y^prime+41 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 10,y' + 41,y = 0
O conteúdo aqui é o método característico: assumimos uma solução do tipo y=e^r x e obtemos a equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação, temos
r^2 e^r x + 10,r e^r x + 41,e^r x = 0
e como e^r xneq0, a equação característica é
r^2 + 10r + 41 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = 10^2 - 4cdot1cdot41 = 100 - 164 = -64,
que é negativo, logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -10 pm raiz-642 = -5 pm 4,i

Passo 4

Para raízes r=alphapm ibeta com alpha=-5 e beta=4, a solução geral real é
y = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r) = e^-5xl(C1cos(4x) + C2sin(4x)r)

Resposta

y = e^-5xl(C1cos(4x) + C2sin(4x)r)

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