Resolva o problema de valor inicial dado: w^prime prime-4 w^prime+2 w=0; w(0)=0, w^prime(0)=1

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial w''-4w'+2w=0 com w(0)=0 e w'(0)=1. Esse é um EDO linear homogênea de coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

Para resolver, primeiro montamos a equação característica associada. Se assumimos w(t)=e^rt, obtemos:
r^2 - 4r + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação de segundo grau:
r = 4 pm raiz16 - 82 = 2 pm raiz2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da forma
w(t) = C1 e^(2+raiz2)t + C2 e^(2-raiz2)t

Passo 5

Agora derivamos w(t) para aplicar a condição w'(0)=1:
w'(t) = C1 (2+raiz2) e^(2+raiz2)t + C2 (2-raiz2) e^(2-raiz2)t

Passo 6

Em t=0 temos o sistema para C1 e C2:
  • De w(0)=0: C1 + C2 = 0.
  • De w'(0)=1: C1(2+raiz2) + C2(2-raiz2) = 1.
    Substituindo C2=-C1 na segunda equação:
C1l((2+raiz2) - (2-raiz2)r) = 1 Rightarrow C1 cdot 2raiz2 = 1 Rightarrow C1 = 12raiz2 = raiz24

Passo 7

Logo C2 = -raiz24. Substituindo em w(t) obtemos a solução final.

Resposta

w(t)=raiz24l(e^(2+raiz2)t-e^(2-raiz2)tr).

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