Explique por que duas funções são linearmente dependentes de um intervalo I se e somente se houver constantes c1 e c2, não sendo ambas zero, de modo que
c1 y1(t)+c2 y2(t)=0 para todo t em I

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções y1 e y2 definidas num intervalo I são linearmente dependentes se, e somente se, existir uma combinação linear não trivial delas que seja identicamente zero em I. O conceito de dependência linear de funções diz que elas são dependentes quando uma delas pode ser obtida como múltiplo constante da outra.

Passo 2

Suponha que existam constantes c1 e c2, não ambas nulas, tais que
c1,y1(t)+c2,y2(t)=0 para todo tin I
Como (c1,c2)neq(0,0), pelo menos uma das constantes é não nula. Sem perda de generalidade, assuma c2neq0. Então, para todo tin I,
y2(t) = -c1c2;y1(t),
ou seja, y2 é múltiplo constante de y1. Isso mostra que y1 e y2 são dependentes.

Passo 3

Agora suponha que y2(t)=k,y1(t) para todo tin I, com k constante. Então basta escolher
c1=k, c2=-1,
para obter
c1,y1(t)+c2,y2(t) = k,y1(t)-1cdotl(k,y1(t)r) =0 forall,tin I
Logo existe combinação linear não trivial que zera identicamente.

Passo 4

As duas direções juntas estabelecem a equivalência entre “serem múltiplos constantes” e “existir combinação linear não trivial nula em todo I”. Isso coincide exatamente com a definição de dependência linear para duas funções.

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente dependentes em I sse existe alguma combinação linear não trivial delas,
exists,c1,c2 não ambos nulos, tais que c1y1(t)+c2y2(t)=0forall,tin I, ã
o que equivale a uma ser múltiplo constante da outra.

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