Explique por que duas funções são linearmente dependentes de um intervalo
se e somente se houver constantes
e
, não sendo ambas zero, de modo que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
definidas num intervalo
são linearmente dependentes se, e somente se, existir uma combinação linear não trivial delas que seja identicamente zero em
. O conceito de dependência linear de funções diz que elas são dependentes quando uma delas pode ser obtida como múltiplo constante da outra.
Passo 2
Suponha que existam constantes
e
, não ambas nulas, tais que
Como
, pelo menos uma das constantes é não nula. Sem perda de generalidade, assuma
. Então, para todo
,
ou seja,
é múltiplo constante de
. Isso mostra que
e
são dependentes.
Passo 3
Agora suponha que
para todo
, com
constante. Então basta escolher
para obter
Logo existe combinação linear não trivial que zera identicamente.
Passo 4
As duas direções juntas estabelecem a equivalência entre “serem múltiplos constantes” e “existir combinação linear não trivial nula em todo
”. Isso coincide exatamente com a definição de dependência linear para duas funções.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes em
sse existe alguma combinação linear não trivial delas,
o que equivale a uma ser múltiplo constante da outra.