Encontre uma solução geral para a equação dada: 2 y^prime prime+13 y^prime-7 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
2y''+13y'-7y=0
O conteúdo aqui é resolver esse tipo de equação usando a equação característica, que nos dá as raízes cujas exponenciais compõem a solução geral.

Passo 2

Para formar a equação característica, assumimos uma solução do tipo y=e^lambda x. Substituindo esse y na equação original temos
2lambda^2e^lambda x+13lambda e^lambda x-7e^lambda x=0
Como e^lambda xneq0, a condição fica
2lambda^2+13lambda-7=0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
2lambda^2+13lambda-7=0
pelo discriminante. Calculamos
De<a=13^2-4cdot2cdot(-7)=169+56=225,
logo raizDe<a=15. As raízes são
lambda=-13pm152cdot2 Longrightarrow lambda1=-13+154=tfrac12, lambda2=-13-154=-7

Passo 4

Como lambda1 e lambda2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=C1e^lambda1 x+C2e^lambda2 x
Substituindo as raízes, obtemos
y(x)=C1e^x/2+C2e^-7x

Resposta

y(x)=C1e^x/2+C2e^-7x

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