Resolva a equacao
d yd x=4 x-x^34+y^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = 4x - x^34 + y^3,
que é de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando os termos de y de um lado e os de x do outro:
(4 + y^3),dy = (4x - x^3),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
integral (4 + y^3),dy = integral (4x - x^3),dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral 4,dy = 4y, integral y^3,dy = y^44,
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integral (4 + y^3),dy = 4y + y^44
Do lado direito,
integral 4x,dx = 2x^2, integral (-x^3),dx = -x^44,
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integral (4x - x^3),dx = 2x^2 - x^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as duas expressões e multiplicando tudo por 4 para simplificar, obtemos
16y + y^4 = 8x^2 - x^4 + C',
com C' = 4C constante arbitrária. Essa é a solução geral em forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
16y + y^4 + x^4 - 8x^2 = C',
onde C' é a constante de integração.

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