Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=x^2 / y(1+x^3)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' = x^2y,(1+x^3)
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis: podemos reorganizar para colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro antes de integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y e por dx:
y,dy = x^21+x^3,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral y,dy = integral x^21+x^3,dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
  • No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22
  • No lado direito, use a substituição u = 1+x^3, logo du = 3x^2,dx, daí
integral x^21+x^3,dx = 13integral duu = 13lnl|ur| + C = 13lnl|1+x^3r| + C
Portanto
y^22 = 13lnl|1+x^3r| + C

Passo 5

Multiplicamos por 2 e juntamos a constante em uma só, C1=2C:
y^2 = 23lnl|1+x^3r| + C1
Por fim,
y = pmraiz23lnl|1+x^3r| + C1,
onde C1 é constante arbitrária de integração.

Resposta

y(x) = pmraiz23lnl|1+x^3r| + C,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados