No Exemplo 3, vimos que y=phi1(x)=raiz25-x^2 e y=phi2(x)=-raiz25-x^2 são soluçÔes da equação diferencial d y / d x=-x / y no intervalo (-5,5). Explique por que a função definida por partes
y= raiz25-x^2, & -5<x<0 -raiz25-x^2, & 0 <= x<5
não é uma solução da equação diferencial no intervalo (-5,5).

Passo 1

O problema trata da equação diferencial
no intervalo
não é solução em todo o intervalo ((-5,5)].

Passo 2

Para que uma função seja solução de uma ODE num dado intervalo, ela precisa ser diferenciável (e, portanto, contínua) em toda a extensão desse intervalo. Vamos checar a continuidade em x=0:
limxto0^-y(x)=raiz25-0=5, limxto0^+y(x)=-raiz25-0=-5
Como os dois limites laterais em x=0 são diferentes, a função apresenta descontinuidade em x=0 e não pode ser diferenciável ali.

Passo 3

Sem diferenciabilidade em x=0, não faz sentido atribuir tfracd yd x(0) nem verificar a ODE nesse ponto. Logo, a função por partes falha em satisfazer a condição de solução da ODE em (-5,5), pois não é diferenciável em toda a extensão do intervalo.

Resposta

A função não é solução em (-5,5) porque é descontínua (e portanto não diferenciável) em x=0, violando a exigência de que uma solução de equação diferencial seja diferenciável em todo o intervalo considerado.

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