Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime=2 x /(y+x^2 y), com y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede a solução de valor inicial da equação
y' = 2xy + x^2 y
com y(0) = -2.
O conteúdo envolvido é equação diferencial de variáveis separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Repare que y + x^2y = y(1+x^2), então
dydx = 2xy(1+x^2)
é equivalente a
y,dy = 2x1+x^2,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral 2x1+x^2,dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22
No lado direito fazemos u=1+x^2, então du=2x,dx, obtendo
integral 2x1+x^2,dx = integral duu = lnl|1+x^2r| + C
Logo
y^22 = lnl(1+x^2r) + C

Passo 4

Multiplicando por 2 e renomeando constante,
y^2 = 2lnl(1+x^2r) + C2
Usando a condição inicial y(0)=-2, obtemos
(-2)^2 = 4 = 2ln(1+0^2) + C2 = 0 + C2 ;Longrightarrow;C2=4

Passo 5

Portanto
y^2 = 2lnl(1+x^2r) + 4
e
y = pmraiz2lnl(1+x^2r) + 4
Como y(0) deve ser -2, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

y(x) = -raiz2lnl(1+x^2r) + 4

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