(1.0) Mostre que se a função f(x, y) satisfaz a equação de Laplace
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
então a função
phi(x, y)=f(xx^2+y^2, yx^2+y^2)
também a satisfaz.
Sugestão. Regra da cadeia com u=xx^2+y^2, v=yx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado diz que f(u,v) satisfaz a equação de Laplace em (u,v), isto é,
fuu(u,v)+fvv(u,v)=0
Definimos
phi(x,y)=fl(u(x,y),,v(x,y)r), u(x,y)=xx^2+y^2, v(x,y)=yx^2+y^2
Queremos mostrar que phi também é harmônica, isto é, que
phixx(x,y)+phiyy(x,y)=0
Para isso vamos usar a regra da cadeia e depois propriedades de u,v (elas vêm da inversão em Bbb R^2, que é (anti-)holomorfa e harmônica).

Passo 2

Pela regra da cadeia temos
phix = fu,ux + fv,vx, phiy = fu,uy + fv,vy
Diferenciando novamente e somando, obtemos
phixx+phiyy = fuu(ux^2+uy^2) +2,fuv(uxvx+uyvy) +fvv(vx^2+vy^2) +fu,(uxx+uyy) +fv,(vxx+vyy)

Passo 3

Como u(x,y)-i,v(x,y)=1/(x+iy) é função holomorfa em (x,y)ne(0,0), os pares (u,v) satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e são harmônicos:
ux = -vy, uy = vx, uxx+uyy=0, vxx+vyy=0
Dessas igualdades seguem também
ux^2+uy^2 = vx^2+vy^2, uxvx+uyvy = 0

Passo 4

Substituindo essas identidades em
phixx+phiyy surge
phixx+phiyy = (ux^2+uy^2)l(fuu+fvvr) +fucdot0 + fvcdot0 = (ux^2+uy^2),0 =0,
pois por hipótese fuu+fvv=0. Logo phi satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

phixx(x,y)+phiyy(x,y)=0, ou seja, phi é harmônica.

Exercícios relacionados