(1.0) Mostre que se a função
satisfaz a equação de Laplace
então a função
também a satisfaz.
Sugestão. Regra da cadeia com
.
Sugestão. Regra da cadeia com
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz a equação de Laplace em
, isto é,
Definimos
Queremos mostrar que
também é harmônica, isto é, que
Para isso vamos usar a regra da cadeia e depois propriedades de
(elas vêm da inversão em
, que é (anti-)holomorfa e harmônica).
Passo 2
Pela regra da cadeia temos
Diferenciando novamente e somando, obtemos
Passo 3
Como
é função holomorfa em
, os pares
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e são harmônicos:
Dessas igualdades seguem também
Passo 4
Substituindo essas identidades em
surge
pois por hipótese
. Logo
satisfaz a equação de Laplace.